解答
2tan(60−x)=tan(x)
解答
x=−1.46681…+πn,x=0.20575…+πn
+1
度数
x=−84.04237…∘+180∘n,x=11.78914…∘+180∘n求解步骤
2tan(60−x)=tan(x)
两边减去 tan(x)2tan(60−x)−tan(x)=0
使用三角恒等式改写
−tan(x)+2tan(60−x)
使用角差恒等式: tan(s−t)=1+tan(s)tan(t)tan(s)−tan(t)=−tan(x)+2⋅1+tan(60)tan(x)tan(60)−tan(x)
化简 −tan(x)+2⋅1+tan(60)tan(x)tan(60)−tan(x):1+tan(60)tan(x)2tan(60)−3tan(x)−tan(60)tan2(x)
−tan(x)+2⋅1+tan(60)tan(x)tan(60)−tan(x)
乘 2⋅1+tan(60)tan(x)tan(60)−tan(x):1+tan(60)tan(x)2(−tan(x)+tan(60))
2⋅1+tan(60)tan(x)tan(60)−tan(x)
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=1+tan(60)tan(x)(tan(60)−tan(x))⋅2
=−tan(x)+tan(60)tan(x)+12(−tan(x)+tan(60))
将项转换为分式: tan(x)=1+tan(60)tan(x)tan(x)(1+tan(60)tan(x))=1+tan(60)tan(x)(tan(60)−tan(x))⋅2−1+tan(60)tan(x)tan(x)(1+tan(60)tan(x))
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=1+tan(60)tan(x)(tan(60)−tan(x))⋅2−tan(x)(1+tan(60)tan(x))
乘开 (tan(60)−tan(x))⋅2−tan(x)(1+tan(60)tan(x)):2tan(60)−3tan(x)−tan(60)tan2(x)
(tan(60)−tan(x))⋅2−tan(x)(1+tan(60)tan(x))
=2(tan(60)−tan(x))−tan(x)(1+tan(60)tan(x))
乘开 2(tan(60)−tan(x)):2tan(60)−2tan(x)
2(tan(60)−tan(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=2,b=tan(60),c=tan(x)=2tan(60)−2tan(x)
=2tan(60)−2tan(x)−tan(x)(1+tan(60)tan(x))
乘开 −tan(x)(1+tan(60)tan(x)):−tan(x)−tan(60)tan2(x)
−tan(x)(1+tan(60)tan(x))
使用分配律: a(b+c)=ab+aca=−tan(x),b=1,c=tan(60)tan(x)=−tan(x)⋅1+(−tan(x))tan(60)tan(x)
使用加减运算法则+(−a)=−a=−1⋅tan(x)−tan(60)tan(x)tan(x)
化简 −1⋅tan(x)−tan(60)tan(x)tan(x):−tan(x)−tan(60)tan2(x)
−1⋅tan(x)−tan(60)tan(x)tan(x)
1⋅tan(x)=tan(x)
1⋅tan(x)
乘以:1⋅tan(x)=tan(x)=tan(x)
tan(60)tan(x)tan(x)=tan(60)tan2(x)
tan(60)tan(x)tan(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ctan(x)tan(x)=tan1+1(x)=tan(60)tan1+1(x)
数字相加:1+1=2=tan(60)tan2(x)
=−tan(x)−tan(60)tan2(x)
=−tan(x)−tan(60)tan2(x)
=2tan(60)−2tan(x)−tan(x)−tan(60)tan2(x)
同类项相加:−2tan(x)−tan(x)=−3tan(x)=2tan(60)−3tan(x)−tan(60)tan2(x)
=1+tan(60)tan(x)2tan(60)−3tan(x)−tan(60)tan2(x)
=1+tan(60)tan(x)2tan(60)−3tan(x)−tan(60)tan2(x)
1+tan(60)tan(x)2tan(60)−3tan(x)−tan(60)tan2(x)=0
用替代法求解
1+tan(60)tan(x)2tan(60)−3tan(x)−tan(60)tan2(x)=0
令:tan(x)=u1+tan(60)u2tan(60)−3u−tan(60)u2=0
1+tan(60)u2tan(60)−3u−tan(60)u2=0:u=−2tan(60)3+9+8tan2(60),u=2tan(60)8tan2(60)+9−3
1+tan(60)u2tan(60)−3u−tan(60)u2=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=02tan(60)−3u−tan(60)u2=0
解 2tan(60)−3u−tan(60)u2=0:u=−2tan(60)3+9+8tan2(60),u=2tan(60)8tan2(60)+9−3
2tan(60)−3u−tan(60)u2=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=0−tan(60)u2−3u+2tan(60)=0
使用求根公式求解
−tan(60)u2−3u+2tan(60)=0
二次方程求根公式:
若 a=−tan(60),b=−3,c=2tan(60)u1,2=2(−tan(60))−(−3)±(−3)2−4(−tan(60))⋅2tan(60)
u1,2=2(−tan(60))−(−3)±(−3)2−4(−tan(60))⋅2tan(60)
(−3)2−4(−tan(60))⋅2tan(60)=9+8tan2(60)
(−3)2−4(−tan(60))⋅2tan(60)
使用法则 −(−a)=a=(−3)2+4tan(60)⋅2tan(60)
(−3)2=32
(−3)2
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−3)2=32=32
4tan(60)⋅2tan(60)=8tan2(60)
4tan(60)⋅2tan(60)
数字相乘:4⋅2=8=8tan(60)tan(60)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ctan(60)tan(60)=tan1+1(60)=8tan1+1(60)
数字相加:1+1=2=8tan2(60)
=32+8tan2(60)
32=9=9+8tan2(60)
u1,2=2(−tan(60))−(−3)±9+8tan2(60)
将解分隔开u1=2(−tan(60))−(−3)+9+8tan2(60),u2=2(−tan(60))−(−3)−9+8tan2(60)
u=2(−tan(60))−(−3)+9+8tan2(60):−2tan(60)3+9+8tan2(60)
2(−tan(60))−(−3)+9+8tan2(60)
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2tan(60)3+9+8tan2(60)
使用分式法则: −ba=−ba=−2tan(60)3+9+8tan2(60)
u=2(−tan(60))−(−3)−9+8tan2(60):2tan(60)8tan2(60)+9−3
2(−tan(60))−(−3)−9+8tan2(60)
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2tan(60)3−9+8tan2(60)
使用分式法则: −b−a=ba3−9+8tan2(60)=−(8tan2(60)+9−3)=2tan(60)8tan2(60)+9−3
二次方程组的解是:u=−2tan(60)3+9+8tan2(60),u=2tan(60)8tan2(60)+9−3
u=−2tan(60)3+9+8tan2(60),u=2tan(60)8tan2(60)+9−3
验证解
找到无定义的点(奇点):u=−tan(60)1
取 1+tan(60)u2tan(60)−3u−tan(60)u2 的分母,令其等于零
解 1+tan(60)u=0:u=−tan(60)1
1+tan(60)u=0
将 1到右边
1+tan(60)u=0
两边减去 11+tan(60)u−1=0−1
化简tan(60)u=−1
tan(60)u=−1
两边除以 tan(60)
tan(60)u=−1
两边除以 tan(60)tan(60)tan(60)u=tan(60)−1
化简u=−tan(60)1
u=−tan(60)1
以下点无定义u=−tan(60)1
将不在定义域的点与解相综合:
u=−2tan(60)3+9+8tan2(60),u=2tan(60)8tan2(60)+9−3
u=tan(x)代回tan(x)=−2tan(60)3+9+8tan2(60),tan(x)=2tan(60)8tan2(60)+9−3
tan(x)=−2tan(60)3+9+8tan2(60),tan(x)=2tan(60)8tan2(60)+9−3
tan(x)=−2tan(60)3+9+8tan2(60):x=arctan(−2tan(60)3+9+8tan2(60))+πn
tan(x)=−2tan(60)3+9+8tan2(60)
使用反三角函数性质
tan(x)=−2tan(60)3+9+8tan2(60)
tan(x)=−2tan(60)3+9+8tan2(60)的通解tan(x)=−a⇒x=arctan(−a)+πnx=arctan(−2tan(60)3+9+8tan2(60))+πn
x=arctan(−2tan(60)3+9+8tan2(60))+πn
tan(x)=2tan(60)8tan2(60)+9−3:x=arctan(2tan(60)8tan2(60)+9−3)+πn
tan(x)=2tan(60)8tan2(60)+9−3
使用反三角函数性质
tan(x)=2tan(60)8tan2(60)+9−3
tan(x)=2tan(60)8tan2(60)+9−3的通解tan(x)=a⇒x=arctan(a)+πnx=arctan(2tan(60)8tan2(60)+9−3)+πn
x=arctan(2tan(60)8tan2(60)+9−3)+πn
合并所有解x=arctan(−2tan(60)3+9+8tan2(60))+πn,x=arctan(2tan(60)8tan2(60)+9−3)+πn
以小数形式表示解x=−1.46681…+πn,x=0.20575…+πn