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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)+8sin(x)-1=0

Lösung

sin^{2} (x) + 8 sin (x) - 1 = 0

Lösung

x = 0.12341 \dots + 2 πn, x = π - 0.12341 \dots + 2 πn

Grad

x = 7.07137 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 172.92862 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) + 8 sin (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

sin^{2} (x) + 8 sin (x) - 1 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

u^{2} + 8 u - 1 = 0

u^{2} + 8 u - 1 = 0 : u = - 4 + 17, u = - 4 - 17

u^{2} + 8 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + 8 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 8, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 217

8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 8^{2} + 4

8^{2} = 64

= 64 + 4

Addiere die Zahlen:

64 + 4 = 68

= 68

Primfaktorzerlegung von

68 : 2^{2} \cdot 17

68

68

ist durch

268 = 34 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 34

34

ist durch

234 = 17 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 17

2, 17

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 17

= 2^{2} \cdot 17

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 17 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 217

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 2 17}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 8 + 2 17}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 8 - 2 17}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 8 + 2 17}{2 \cdot 1} : - 4 + 17

\frac{- 8 + 2 17}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 8 + 2 17}{2}

Faktorisiere

- 8 + 217 : 2 (- 4 + 17)

- 8 + 217

Schreibe um

= - 2 \cdot 4 + 217

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 4 + 17)

= \frac{2 ( - 4 + 17 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 4 + 17

u = \frac{- 8 - 2 17}{2 \cdot 1} : - 4 - 17

\frac{- 8 - 2 17}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 8 - 2 17}{2}

Faktorisiere

- 8 - 217 : - 2 (4 + 17)

- 8 - 217

Schreibe um

= - 2 \cdot 4 - 217

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (4 + 17)

= - \frac{2 ( 4 + 17 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - (4 + 17)

Negiere die Vorzeichen

- (4 + 17) = - 4 - 17

= - 4 - 17

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 4 + 17, u = - 4 - 17

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - 4 + 17, sin (x) = - 4 - 17

sin (x) = - 4 + 17, sin (x) = - 4 - 17

sin (x) = - 4 + 17 : x = arcsin (- 4 + 17) + 2 πn, x = π - arcsin (- 4 + 17) + 2 πn

sin (x) = - 4 + 17

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - 4 + 17

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 4 + 17

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- 4 + 17) + 2 πn, x = π - arcsin (- 4 + 17) + 2 πn

x = arcsin (- 4 + 17) + 2 πn, x = π - arcsin (- 4 + 17) + 2 πn

sin (x) = - 4 - 17 :

Keine Lösung

sin (x) = - 4 - 17

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- 4 + 17) + 2 πn, x = π - arcsin (- 4 + 17) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.12341 \dots + 2 πn, x = π - 0.12341 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor x,y=arctan(2x+3y)

so l v e f or x, y = arctan (2 x + 3 y)

sin(2x)=0.89583

sin (2 x) = 0.89583

tan(θ)=1.234,θ

tan (θ) = 1.234, θ

solvefor x,sin(x)cos(x)=sin(x+p)cos(x+p)

so l v e f or x, sin (x) cos (x) = sin (x + p) cos (x + p)

sin(θ)= 3/5 ,cos(2θ)

sin (θ) = \frac{3}{5}, cos (2 θ)