English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

8sin(θ)+15cos(θ)=17

פתרון

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

פתרון

θ = 0.48995 \dots + 2 πn

מעלות

θ = 28.07248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

צעדי פתרון

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

משני האגפים

15 cos (θ)

החסר

8 sin (θ) = 17 - 15 cos (θ)

העלה בריבוע את שני האגפים

(8 sin (θ))^{2} = (17 - 15 cos (θ))^{2}

משני האגפים

(17 - 15 cos (θ))^{2}

החסר

64 sin^{2} (θ) - 289 + 510 cos (θ) - 225 cos^{2} (θ) = 0

Rewrite using trig identities

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 sin^{2} (θ)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

פשט את:

510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

64 (1 - cos^{2} (θ))

הרחב את:

64 - 64 cos^{2} (θ)

64 (1 - cos^{2} (θ))

a (b - c) = ab - a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (θ)

64 \cdot 1 = 64 :

הכפל את המספרים

= 64 - 64 cos^{2} (θ)

= - 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

פשט את:

510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

קבץ ביטויים דומים יחד

= - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) - 64 cos^{2} (θ) - 289 + 64

- 225 cos^{2} (θ) - 64 cos^{2} (θ) = - 289 cos^{2} (θ) :

חבר איברים דומים

= - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) - 289 + 64

- 289 + 64 = - 225 :

חסר/חבר את המספרים

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 225 - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) = 0

בעזרת שיטת ההצבה

- 225 - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) = 0

cos (θ) = u :

נניח ש

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0 : u = \frac{15}{17}

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0

a x^{2} + b x + c = 0

כתוב בצורה הסטנדרטית

- 289 u^{2} + 510 u - 225 = 0

פתור בעזרת הנוסחה הריבועית

- 289 u^{2} + 510 u - 225 = 0

הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית

a = - 289, b = 510, c = - 225

עבור

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 51 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 225 )}{2 ( - 289 )}

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 51 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 225 )}{2 ( - 289 )}

51 0^{2} - 4 (- 289) (- 225) = 0

51 0^{2} - 4 (- 289) (- 225)

- (- a) = a

הפעל את החוק

= 51 0^{2} - 4 \cdot 289 \cdot 225

4 \cdot 289 \cdot 225 = 260100 :

הכפל את המספרים

= 51 0^{2} - 260100

51 0^{2} = 260100

= 260100 - 260100

260100 - 260100 = 0 :

חסר את המספרים

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 0}{2 ( - 289 )}

u = \frac{- 510}{2 ( - 289 )}

\frac{- 510}{2 ( - 289 )} = \frac{15}{17}

\frac{- 510}{2 ( - 289 )}

(- a) = - a

:הסר סוגריים

= \frac{- 510}{- 2 \cdot 289}

2 \cdot 289 = 578 :

הכפל את המספרים

= \frac{- 510}{- 578}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{510}{578}

34 :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{15}{17}

u = \frac{15}{17}

הפתרון למשוואה הריבועית הוא

u = \frac{15}{17}

u = cos (θ)

החלף בחזרה

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (θ) = \frac{15}{17} : θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{15}{17}

Apply trig inverse properties

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (θ) = \frac{15}{17} :

פתרונות כלליים עבור

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

אחד את הפתרונות

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

וודא את נכונות הפתרונות על ידי הצבתם במשוואה המקורית

כדי לבדוק את נכונותם

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

הצב את הפתרונות ב

מחק את הפתרונות שמביאים לביטוי שקר

arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

בדוק את הפתרון:

נכון

arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

n = 1

החלף את

arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

הצב

, 8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

עבור

8 sin (arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) + 15 cos (arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) = 17

פשט

17 = 17

\Rightarrow נכון

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

בדוק את הפתרון:

לא נכון

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

n = 1

החלף את

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

הצב

, 8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

עבור

8 sin (2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) + 15 cos (2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) = 17

פשט

9.47058 \dots = 17

\Rightarrow לא נכון

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

הראה פיתרון ביצוג עשרוני

θ = 0.48995 \dots + 2 πn

גרף

דוגמאות פופולריות

cos(x-1)=0

2sin(t)+3cos(t)=0

tan(θ)=(-11/3-(-4/3))/(1+(-4/3)(-11/3))

csc(2x)=2,x0<x<360

tan(x)= 6/7