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Populaire Trigonométrie >

8sin(θ)+15cos(θ)=17

Solution

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

Solution

θ = 0.48995 \dots + 2 πn

Degrés

θ = 28.07248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

Soustraire

15 cos (θ)

des deux côtés

8 sin (θ) = 17 - 15 cos (θ)

Mettre les deux côtés au carré

(8 sin (θ))^{2} = (17 - 15 cos (θ))^{2}

Soustraire

(17 - 15 cos (θ))^{2}

des deux côtés

64 sin^{2} (θ) - 289 + 510 cos (θ) - 225 cos^{2} (θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 sin^{2} (θ)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

Simplifier

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ)) : 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

Développer

64 (1 - cos^{2} (θ)) : 64 - 64 cos^{2} (θ)

64 (1 - cos^{2} (θ))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (θ)

Multiplier les nombres :

64 \cdot 1 = 64

= 64 - 64 cos^{2} (θ)

= - 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

Simplifier

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ) : 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

Grouper comme termes

= - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) - 64 cos^{2} (θ) - 289 + 64

Additionner les éléments similaires :

- 225 cos^{2} (θ) - 64 cos^{2} (θ) = - 289 cos^{2} (θ)

= - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) - 289 + 64

Additionner/Soustraire les nombres :

- 289 + 64 = - 225

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 225 - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) = 0

Résoudre par substitution

- 225 - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) = 0

Soit :

cos (θ) = u

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0 : u = \frac{15}{17}

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 289 u^{2} + 510 u - 225 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 289 u^{2} + 510 u - 225 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 289, b = 510, c = - 225

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 51 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 225 )}{2 ( - 289 )}

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 51 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 225 )}{2 ( - 289 )}

51 0^{2} - 4 (- 289) (- 225) = 0

51 0^{2} - 4 (- 289) (- 225)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 51 0^{2} - 4 \cdot 289 \cdot 225

Multiplier les nombres :

4 \cdot 289 \cdot 225 = 260100

= 51 0^{2} - 260100

51 0^{2} = 260100

= 260100 - 260100

Soustraire les nombres :

260100 - 260100 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 0}{2 ( - 289 )}

u = \frac{- 510}{2 ( - 289 )}

\frac{- 510}{2 ( - 289 )} = \frac{15}{17}

\frac{- 510}{2 ( - 289 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 510}{- 2 \cdot 289}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 289 = 578

= \frac{- 510}{- 578}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{510}{578}

Annuler le facteur commun :

34

= \frac{15}{17}

u = \frac{15}{17}

La solution de l'équation de forme quadratique est :

u = \frac{15}{17}

Remplacer

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (θ) = \frac{15}{17} : θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{15}{17}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (θ) = \frac{15}{17}

Solutions générales pour

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

Pour

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

insérer

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

8 sin (arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) + 15 cos (arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) = 17

Redéfinir

17 = 17

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

Pour

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

insérer

θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

8 sin (2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) + 15 cos (2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) = 17

Redéfinir

9.47058 \dots = 17

\Rightarrow Faux

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

θ = 0.48995 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

cos(x-1)=0

cos (x - 1) = 0

2sin(t)+3cos(t)=0

2 sin (t) + 3 cos (t) = 0

tan(θ)=(-11/3-(-4/3))/(1+(-4/3)(-11/3))

tan (θ) = \frac{- \frac{11}{3} - ( - \frac{4}{3} )}{1 + ( - \frac{4}{3} ) ( - \frac{11}{3} )}

csc(2x)=2,x0<x<360

csc (2 x) = 2, x 0^{\circ} < x < 36 0^{\circ}

tan(x)= 6/7

tan (x) = \frac{6}{7}