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Popular Trigonometría >

8sin(θ)+15cos(θ)=17

Solución

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

Solución

θ = 0.48995 \dots + 2 πn

Grados

θ = 28.07248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

Restar

15 cos (θ)

de ambos lados

8 sin (θ) = 17 - 15 cos (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(8 sin (θ))^{2} = (17 - 15 cos (θ))^{2}

Restar

(17 - 15 cos (θ))^{2}

de ambos lados

64 sin^{2} (θ) - 289 + 510 cos (θ) - 225 cos^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ)) : 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

64 (1 - cos^{2} (θ)) : 64 - 64 cos^{2} (θ)

64 (1 - cos^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

64 \cdot 1 = 64

= 64 - 64 cos^{2} (θ)

= - 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

Simplificar

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ) : 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 289 - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) + 64 - 64 cos^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= - 225 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) - 64 cos^{2} (θ) - 289 + 64

Sumar elementos similares:

- 225 cos^{2} (θ) - 64 cos^{2} (θ) = - 289 cos^{2} (θ)

= - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) - 289 + 64

Sumar/restar lo siguiente:

- 289 + 64 = - 225

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

= 510 cos (θ) - 289 cos^{2} (θ) - 225

- 225 - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 225 - 289 cos^{2} (θ) + 510 cos (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0 : u = \frac{15}{17}

- 225 - 289 u^{2} + 510 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 289 u^{2} + 510 u - 225 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 289 u^{2} + 510 u - 225 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 289, b = 510, c = - 225

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 51 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 225 )}{2 ( - 289 )}

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 51 0 ^{2} - 4 ( - 289 ) ( - 225 )}{2 ( - 289 )}

51 0^{2} - 4 (- 289) (- 225) = 0

51 0^{2} - 4 (- 289) (- 225)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 51 0^{2} - 4 \cdot 289 \cdot 225

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 289 \cdot 225 = 260100

= 51 0^{2} - 260100

51 0^{2} = 260100

= 260100 - 260100

Restar:

260100 - 260100 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 510 \pm 0}{2 ( - 289 )}

u = \frac{- 510}{2 ( - 289 )}

\frac{- 510}{2 ( - 289 )} = \frac{15}{17}

\frac{- 510}{2 ( - 289 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 510}{- 2 \cdot 289}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 289 = 578

= \frac{- 510}{- 578}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{510}{578}

Eliminar los terminos comunes:

34

= \frac{15}{17}

u = \frac{15}{17}

La solución a la ecuación de segundo grado es:

u = \frac{15}{17}

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (θ) = \frac{15}{17} : θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{15}{17}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{15}{17}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{15}{17}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

Multiplicar

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

por

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

8 sin (arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) + 15 cos (arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) = 17

Simplificar

17 = 17

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

Multiplicar

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 17

por

θ = 2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1

8 sin (2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) + 15 cos (2 π - arccos (\frac{15}{17}) + 2 π 1) = 17

Simplificar

9.47058 \dots = 17

\Rightarrow Falso

θ = arccos (\frac{15}{17}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 0.48995 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

cos(x-1)=0

2sin(t)+3cos(t)=0

tan(θ)=(-11/3-(-4/3))/(1+(-4/3)(-11/3))

csc(2x)=2,x0<x<360

tan(x)= 6/7