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cosh(2x)+sinh^2(x)-13sinh(x)=-3

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Soluzione

cosh(2x)+sinh2(x)−13sinh(x)=−3

Soluzione

x=ln(1.38742…),x=ln(8.12310…)
+1
Gradi
x=18.76151…∘,x=120.01818…∘
Fasi della soluzione
cosh(2x)+sinh2(x)−13sinh(x)=−3
Riscrivere utilizzando identità trigonometriche
cosh(2x)+sinh2(x)−13sinh(x)=−3
Usa l'identità iperbolica: sinh(x)=2ex−e−x​cosh(2x)+(2ex−e−x​)2−13⋅2ex−e−x​=−3
Usa l'identità iperbolica: cosh(x)=2ex+e−x​2e2x+e−2x​+(2ex−e−x​)2−13⋅2ex−e−x​=−3
2e2x+e−2x​+(2ex−e−x​)2−13⋅2ex−e−x​=−3
2e2x+e−2x​+(2ex−e−x​)2−13⋅2ex−e−x​=−3:x=ln(1.38742…),x=ln(8.12310…)
2e2x+e−2x​+(2ex−e−x​)2−13⋅2ex−e−x​=−3
Moltiplica entrambi i lati per 22e2x+e−2x​⋅2+(2ex−e−x​)2⋅2−13⋅2ex−e−x​⋅2=−3⋅2
Semplificare 2e2x+e−2x​⋅2+(2ex−e−x​)2⋅2−13⋅2ex−e−x​⋅2:e2x+e−2x+2(ex−e−x)2​−13(ex−e−x)
2e2x+e−2x​⋅2+(2ex−e−x​)2⋅2−13⋅2ex−e−x​⋅2
2e2x+e−2x​⋅2=e2x+e−2x
2e2x+e−2x​⋅2
Moltiplica le frazioni: a⋅cb​=ca⋅b​=2(e2x+e−2x)⋅2​
Cancella il fattore comune: 2=e2x+e−2x
(2ex−e−x​)2⋅2=2(ex−e−x)2​
(2ex−e−x​)2⋅2
(2ex−e−x​)2=22(ex−e−x)2​
(2ex−e−x​)2
Applica la regola degli esponenti: (ba​)c=bcac​=22(ex−e−x)2​
=2⋅22(ex−e−x)2​
Moltiplica le frazioni: a⋅cb​=ca⋅b​=22(ex−e−x)2⋅2​
Cancella il fattore comune: 2=2(ex−e−x)2​
13⋅2ex−e−x​⋅2=13(ex−e−x)
13⋅2ex−e−x​⋅2
Moltiplica le frazioni: a⋅cb​=ca⋅b​=2(ex−e−x)⋅13⋅2​
Cancella il fattore comune: 2=(ex−e−x)⋅13
=e2x+e−2x+2(ex−e−x)2​−13(ex−e−x)
e2x+e−2x+2(ex−e−x)2​−13(ex−e−x)=−6
Applica le regole dell'esponente
e2x+e−2x+2(ex−e−x)2​−13(ex−e−x)=−6
Applica la regola degli esponenti: abc=(ab)ce2x=(ex)2,e−2x=(ex)−2,e−x=(ex)−1(ex)2+(ex)−2+2(ex−(ex)−1)2​−13(ex−(ex)−1)=−6
(ex)2+(ex)−2+2(ex−(ex)−1)2​−13(ex−(ex)−1)=−6
Riscrivi l'equazione con ex=u(u)2+(u)−2+2(u−(u)−1)2​−13(u−(u)−1)=−6
Risolvi u2+u−2+2(u−u−1)2​−13(u−u−1)=−6:u≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
u2+u−2+2(u−u−1)2​−13(u−u−1)=−6
Affinareu2+u21​+2u2(u2−1)2​−13(u−u1​)=−6
Moltiplica per mcm
u2+u21​+2u2(u2−1)2​−13(u−u1​)=−6
Trovare il minimo comune multiplo di u2,2u2:2u2
u2,2u2
Minimo comune multiplo (mcm)
Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in u2 o 2u2=2u2
Moltiplicare per il minimo comune multiplo=2u2u2⋅2u2+u21​⋅2u2+2u2(u2−1)2​⋅2u2−13(u−u1​)⋅2u2=−6⋅2u2
Semplificare
u2⋅2u2+u21​⋅2u2+2u2(u2−1)2​⋅2u2−13(u−u1​)⋅2u2=−6⋅2u2
Semplificare u2⋅2u2:2u4
u2⋅2u2
Applica la regola degli esponenti: ab⋅ac=ab+cu2u2=u2+2=2u2+2
Aggiungi i numeri: 2+2=4=2u4
Semplificare u21​⋅2u2:2
u21​⋅2u2
Moltiplica le frazioni: a⋅cb​=ca⋅b​=u21⋅2u2​
Cancella il fattore comune: u2=1⋅2
Moltiplica i numeri: 1⋅2=2=2
Semplificare 2u2(u2−1)2​⋅2u2:(u2−1)2
2u2(u2−1)2​⋅2u2
Moltiplica le frazioni: a⋅cb​=ca⋅b​=2u2(u2−1)2⋅2u2​
Cancella il fattore comune: 2=u2(u2−1)2u2​
Cancella il fattore comune: u2=(u2−1)2
Semplificare −13(u−u1​)⋅2u2:−26u2(u−u1​)
−13(u−u1​)⋅2u2
Moltiplica i numeri: 13⋅2=26=−26u2(u−u1​)
Semplificare −6⋅2u2:−12u2
−6⋅2u2
Moltiplica i numeri: 6⋅2=12=−12u2
2u4+2+(u2−1)2−26u2(u−u1​)=−12u2
2u4+2+(u2−1)2−26u2(u−u1​)=−12u2
Espandere 2u4+2+(u2−1)2−26u2(u−u1​):3u4−26u3−2u2+26u+3
2u4+2+(u2−1)2−26u2(u−u1​)
(u2−1)2:u4−2u2+1
Applicare la formula del quadrato perfetto: (a−b)2=a2−2ab+b2a=u2,b=1
=(u2)2−2u2⋅1+12
Semplifica (u2)2−2u2⋅1+12:u4−2u2+1
(u2)2−2u2⋅1+12
Applicare la regola 1a=112=1=(u2)2−2⋅1⋅u2+1
(u2)2=u4
(u2)2
Applica la regola degli esponenti: (ab)c=abc=u2⋅2
Moltiplica i numeri: 2⋅2=4=u4
2u2⋅1=2u2
2u2⋅1
Moltiplica i numeri: 2⋅1=2=2u2
=u4−2u2+1
=u4−2u2+1
=2u4+2+u4−2u2+1−26u2(u−u1​)
Espandi −26u2(u−u1​):−26u3+26u
−26u2(u−u1​)
Applicare la legge della distribuzione: a(b−c)=ab−aca=−26u2,b=u,c=u1​=−26u2u−(−26u2)u1​
Applicare le regole di sottrazione-addizione−(−a)=a=−26u2u+26⋅u1​u2
Semplifica −26u2u+26⋅u1​u2:−26u3+26u
−26u2u+26⋅u1​u2
26u2u=26u3
26u2u
Applica la regola degli esponenti: ab⋅ac=ab+cu2u=u2+1=26u2+1
Aggiungi i numeri: 2+1=3=26u3
26⋅u1​u2=26u
26⋅u1​u2
Moltiplica le frazioni: a⋅cb​=ca⋅b​=u1⋅26u2​
Moltiplica i numeri: 1⋅26=26=u26u2​
Cancella il fattore comune: u=26u
=−26u3+26u
=−26u3+26u
=2u4+2+u4−2u2+1−26u3+26u
Semplifica 2u4+2+u4−2u2+1−26u3+26u:3u4−26u3−2u2+26u+3
2u4+2+u4−2u2+1−26u3+26u
Raggruppa termini simili=2u4+u4−26u3−2u2+26u+2+1
Aggiungi elementi simili: 2u4+u4=3u4=3u4−26u3−2u2+26u+2+1
Aggiungi i numeri: 2+1=3=3u4−26u3−2u2+26u+3
=3u4−26u3−2u2+26u+3
3u4−26u3−2u2+26u+3=−12u2
3u4−26u3−2u2+26u+3=−12u2
Risolvi 3u4−26u3−2u2+26u+3=−12u2:u≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
3u4−26u3−2u2+26u+3=−12u2
Spostare 12u2a sinistra dell'equazione
3u4−26u3−2u2+26u+3=−12u2
Aggiungi 12u2 ad entrambi i lati3u4−26u3−2u2+26u+3+12u2=−12u2+12u2
Semplificare3u4−26u3+10u2+26u+3=0
3u4−26u3+10u2+26u+3=0
Trova una soluzione per 3u4−26u3+10u2+26u+3=0 utilizzando Newton-Raphson:u≈−0.12310…
3u4−26u3+10u2+26u+3=0
Definizione di approssimazione di Newton-Raphson
f(u)=3u4−26u3+10u2+26u+3
Trova f′(u):12u3−78u2+20u+26
dud​(3u4−26u3+10u2+26u+3)
Applica la regola della somma/differenza: (f±g)′=f′±g′=dud​(3u4)−dud​(26u3)+dud​(10u2)+dud​(26u)+dud​(3)
dud​(3u4)=12u3
dud​(3u4)
Elimina la costante: (a⋅f)′=a⋅f′=3dud​(u4)
Applica la regola della potenza: dxd​(xa)=a⋅xa−1=3⋅4u4−1
Semplificare=12u3
dud​(26u3)=78u2
dud​(26u3)
Elimina la costante: (a⋅f)′=a⋅f′=26dud​(u3)
Applica la regola della potenza: dxd​(xa)=a⋅xa−1=26⋅3u3−1
Semplificare=78u2
dud​(10u2)=20u
dud​(10u2)
Elimina la costante: (a⋅f)′=a⋅f′=10dud​(u2)
Applica la regola della potenza: dxd​(xa)=a⋅xa−1=10⋅2u2−1
Semplificare=20u
dud​(26u)=26
dud​(26u)
Elimina la costante: (a⋅f)′=a⋅f′=26dudu​
Applica la derivata comune: dudu​=1=26⋅1
Semplificare=26
dud​(3)=0
dud​(3)
Derivata di una costante: dxd​(a)=0=0
=12u3−78u2+20u+26+0
Semplificare=12u3−78u2+20u+26
Sia u0​=0Calcola un+1​ fino a Deltaun+1​<0.000001
u1​=−0.11538…:Δu1​=0.11538…
f(u0​)=3⋅04−26⋅03+10⋅02+26⋅0+3=3f′(u0​)=12⋅03−78⋅02+20⋅0+26=26u1​=−0.11538…
Δu1​=∣−0.11538…−0∣=0.11538…Δu1​=0.11538…
u2​=−0.12305…:Δu2​=0.00766…
f(u1​)=3(−0.11538…)4−26(−0.11538…)3+10(−0.11538…)2+26(−0.11538…)+3=0.17360…f′(u1​)=12(−0.11538…)3−78(−0.11538…)2+20(−0.11538…)+26=22.63541…u2​=−0.12305…
Δu2​=∣−0.12305…−(−0.11538…)∣=0.00766…Δu2​=0.00766…
u3​=−0.12310…:Δu3​=0.00005…
f(u2​)=3(−0.12305…)4−26(−0.12305…)3+10(−0.12305…)2+26(−0.12305…)+3=0.00114…f′(u2​)=12(−0.12305…)3−78(−0.12305…)2+20(−0.12305…)+26=22.33544…u3​=−0.12310…
Δu3​=∣−0.12310…−(−0.12305…)∣=0.00005…Δu3​=0.00005…
u4​=−0.12310…:Δu4​=2.33489E−9
f(u3​)=3(−0.12310…)4−26(−0.12310…)3+10(−0.12310…)2+26(−0.12310…)+3=5.21461E−8f′(u3​)=12(−0.12310…)3−78(−0.12310…)2+20(−0.12310…)+26=22.33340…u4​=−0.12310…
Δu4​=∣−0.12310…−(−0.12310…)∣=2.33489E−9Δu4​=2.33489E−9
u≈−0.12310…
Applica la divisione lunga:u+0.12310…3u4−26u3+10u2+26u+3​=3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…
3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…≈0
Trova una soluzione per 3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…=0 utilizzando Newton-Raphson:u≈−0.72075…
3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…=0
Definizione di approssimazione di Newton-Raphson
f(u)=3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…
Trova f′(u):9u2−52.73863…u+13.24621…
dud​(3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…)
Applica la regola della somma/differenza: (f±g)′=f′±g′=dud​(3u3)−dud​(26.36931…u2)+dud​(13.24621…u)+dud​(24.36931…)
dud​(3u3)=9u2
dud​(3u3)
Elimina la costante: (a⋅f)′=a⋅f′=3dud​(u3)
Applica la regola della potenza: dxd​(xa)=a⋅xa−1=3⋅3u3−1
Semplificare=9u2
dud​(26.36931…u2)=52.73863…u
dud​(26.36931…u2)
Elimina la costante: (a⋅f)′=a⋅f′=26.36931…dud​(u2)
Applica la regola della potenza: dxd​(xa)=a⋅xa−1=26.36931…⋅2u2−1
Semplificare=52.73863…u
dud​(13.24621…u)=13.24621…
dud​(13.24621…u)
Elimina la costante: (a⋅f)′=a⋅f′=13.24621…dudu​
Applica la derivata comune: dudu​=1=13.24621…⋅1
Semplificare=13.24621…
dud​(24.36931…)=0
dud​(24.36931…)
Derivata di una costante: dxd​(a)=0=0
=9u2−52.73863…u+13.24621…+0
Semplificare=9u2−52.73863…u+13.24621…
Sia u0​=−2Calcola un+1​ fino a Deltaun+1​<0.000001
u1​=−1.14944…:Δu1​=0.85055…
f(u0​)=3(−2)3−26.36931…(−2)2+13.24621…(−2)+24.36931…=−131.60037…f′(u0​)=9(−2)2−52.73863…(−2)+13.24621…=154.72347…u1​=−1.14944…
Δu1​=∣−1.14944…−(−2)∣=0.85055…Δu1​=0.85055…
u2​=−0.79668…:Δu2​=0.35276…
f(u1​)=3(−1.14944…)3−26.36931…(−1.14944…)2+13.24621…(−1.14944…)+24.36931…=−30.25251…f′(u1​)=9(−1.14944…)2−52.73863…(−1.14944…)+13.24621…=85.75760…u2​=−0.79668…
Δu2​=∣−0.79668…−(−1.14944…)∣=0.35276…Δu2​=0.35276…
u3​=−0.72390…:Δu3​=0.07277…
f(u2​)=3(−0.79668…)3−26.36931…(−0.79668…)2+13.24621…(−0.79668…)+24.36931…=−4.43722…f′(u2​)=9(−0.79668…)2−52.73863…(−0.79668…)+13.24621…=60.97432…u3​=−0.72390…
Δu3​=∣−0.72390…−(−0.79668…)∣=0.07277…Δu3​=0.07277…
u4​=−0.72076…:Δu4​=0.00314…
f(u3​)=3(−0.72390…)3−26.36931…(−0.72390…)2+13.24621…(−0.72390…)+24.36931…=−0.17646…f′(u3​)=9(−0.72390…)2−52.73863…(−0.72390…)+13.24621…=56.14052…u4​=−0.72076…
Δu4​=∣−0.72076…−(−0.72390…)∣=0.00314…Δu4​=0.00314…
u5​=−0.72075…:Δu5​=5.80676E−6
f(u4​)=3(−0.72076…)3−26.36931…(−0.72076…)2+13.24621…(−0.72076…)+24.36931…=−0.00032…f′(u4​)=9(−0.72076…)2−52.73863…(−0.72076…)+13.24621…=55.93389…u5​=−0.72075…
Δu5​=∣−0.72075…−(−0.72076…)∣=5.80676E−6Δu5​=5.80676E−6
u6​=−0.72075…:Δu6​=1.98067E−11
f(u5​)=3(−0.72075…)3−26.36931…(−0.72075…)2+13.24621…(−0.72075…)+24.36931…=−1.10786E−9f′(u5​)=9(−0.72075…)2−52.73863…(−0.72075…)+13.24621…=55.93351…u6​=−0.72075…
Δu6​=∣−0.72075…−(−0.72075…)∣=1.98067E−11Δu6​=1.98067E−11
u≈−0.72075…
Applica la divisione lunga:u+0.72075…3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…​=3u2−28.53159…u+33.81062…
3u2−28.53159…u+33.81062…≈0
Trova una soluzione per 3u2−28.53159…u+33.81062…=0 utilizzando Newton-Raphson:u≈1.38742…
3u2−28.53159…u+33.81062…=0
Definizione di approssimazione di Newton-Raphson
f(u)=3u2−28.53159…u+33.81062…
Trova f′(u):6u−28.53159…
dud​(3u2−28.53159…u+33.81062…)
Applica la regola della somma/differenza: (f±g)′=f′±g′=dud​(3u2)−dud​(28.53159…u)+dud​(33.81062…)
dud​(3u2)=6u
dud​(3u2)
Elimina la costante: (a⋅f)′=a⋅f′=3dud​(u2)
Applica la regola della potenza: dxd​(xa)=a⋅xa−1=3⋅2u2−1
Semplificare=6u
dud​(28.53159…u)=28.53159…
dud​(28.53159…u)
Elimina la costante: (a⋅f)′=a⋅f′=28.53159…dudu​
Applica la derivata comune: dudu​=1=28.53159…⋅1
Semplificare=28.53159…
dud​(33.81062…)=0
dud​(33.81062…)
Derivata di una costante: dxd​(a)=0=0
=6u−28.53159…+0
Semplificare=6u−28.53159…
Sia u0​=1Calcola un+1​ fino a Deltaun+1​<0.000001
u1​=1.36744…:Δu1​=0.36744…
f(u0​)=3⋅12−28.53159…⋅1+33.81062…=8.27902…f′(u0​)=6⋅1−28.53159…=−22.53159…u1​=1.36744…
Δu1​=∣1.36744…−1∣=0.36744…Δu1​=0.36744…
u2​=1.38736…:Δu2​=0.01992…
f(u1​)=3⋅1.36744…2−28.53159…⋅1.36744…+33.81062…=0.40503…f′(u1​)=6⋅1.36744…−28.53159…=−20.32694…u2​=1.38736…
Δu2​=∣1.38736…−1.36744…∣=0.01992…Δu2​=0.01992…
u3​=1.38742…:Δu3​=0.00005…
f(u2​)=3⋅1.38736…2−28.53159…⋅1.38736…+33.81062…=0.00119…f′(u2​)=6⋅1.38736…−28.53159…=−20.20739…u3​=1.38742…
Δu3​=∣1.38742…−1.38736…∣=0.00005…Δu3​=0.00005…
u4​=1.38742…:Δu4​=5.15864E−10
f(u3​)=3⋅1.38742…2−28.53159…⋅1.38742…+33.81062…=1.04241E−8f′(u3​)=6⋅1.38742…−28.53159…=−20.20703…u4​=1.38742…
Δu4​=∣1.38742…−1.38742…∣=5.15864E−10Δu4​=5.15864E−10
u≈1.38742…
Applica la divisione lunga:u−1.38742…3u2−28.53159…u+33.81062…​=3u−24.36931…
3u−24.36931…≈0
u≈8.12310…
Le soluzioni sonou≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
u≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
Verificare le soluzioni
Trova i punti non-definiti (singolarità):u=0
Prendere il denominatore (i) dell'u2+u−2+2(u−u−1)2​−13(u−u−1) e confrontare con zero
Risolvi u2=0:u=0
u2=0
Applicare la regola xn=0⇒x=0
u=0
u=0
I seguenti punti sono non definitiu=0
Combinare punti non definiti con soluzioni:
u≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
u≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
Sostituisci u=ex,risolvi per x
Risolvi ex=−0.12310…:Nessuna soluzione per x∈R
ex=−0.12310…
a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}Nessunasoluzioneperx∈R
Risolvi ex=−0.72075…:Nessuna soluzione per x∈R
ex=−0.72075…
a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}Nessunasoluzioneperx∈R
Risolvi ex=1.38742…:x=ln(1.38742…)
ex=1.38742…
Applica le regole dell'esponente
ex=1.38742…
Se f(x)=g(x), allora ln(f(x))=ln(g(x))ln(ex)=ln(1.38742…)
Applica la regola del logaritmo: ln(ea)=aln(ex)=xx=ln(1.38742…)
x=ln(1.38742…)
Risolvi ex=8.12310…:x=ln(8.12310…)
ex=8.12310…
Applica le regole dell'esponente
ex=8.12310…
Se f(x)=g(x), allora ln(f(x))=ln(g(x))ln(ex)=ln(8.12310…)
Applica la regola del logaritmo: ln(ea)=aln(ex)=xx=ln(8.12310…)
x=ln(8.12310…)
x=ln(1.38742…),x=ln(8.12310…)
x=ln(1.38742…),x=ln(8.12310…)

Grafico

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Esempi popolari

sin(3x-pi/4)=1sin(3x−4π​)=1(1-tan^2(A))/(1+tan^2(A))=11+tan2(A)1−tan2(A)​=1sin(2x)-0.8=0sin(2x)−0.8=0tan(a)=sqrt(15/7),sin(a)tan(a)=715​​,sin(a)2cos^2(θ)+sin(θ)=22cos2(θ)+sin(θ)=2
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