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cosh(2x)+sinh^2(x)-13sinh(x)=-3

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Solution

cosh(2x)+sinh2(x)−13sinh(x)=−3

Solution

x=ln(1.38742…),x=ln(8.12310…)
+1
Degrés
x=18.76151…∘,x=120.01818…∘
étapes des solutions
cosh(2x)+sinh2(x)−13sinh(x)=−3
Récrire en utilisant des identités trigonométriques
cosh(2x)+sinh2(x)−13sinh(x)=−3
Use the Hyperbolic identity: sinh(x)=2ex−e−x​cosh(2x)+(2ex−e−x​)2−13⋅2ex−e−x​=−3
Use the Hyperbolic identity: cosh(x)=2ex+e−x​2e2x+e−2x​+(2ex−e−x​)2−13⋅2ex−e−x​=−3
2e2x+e−2x​+(2ex−e−x​)2−13⋅2ex−e−x​=−3
2e2x+e−2x​+(2ex−e−x​)2−13⋅2ex−e−x​=−3:x=ln(1.38742…),x=ln(8.12310…)
2e2x+e−2x​+(2ex−e−x​)2−13⋅2ex−e−x​=−3
Multiplier les deux côtés par 22e2x+e−2x​⋅2+(2ex−e−x​)2⋅2−13⋅2ex−e−x​⋅2=−3⋅2
Simplifier 2e2x+e−2x​⋅2+(2ex−e−x​)2⋅2−13⋅2ex−e−x​⋅2:e2x+e−2x+2(ex−e−x)2​−13(ex−e−x)
2e2x+e−2x​⋅2+(2ex−e−x​)2⋅2−13⋅2ex−e−x​⋅2
2e2x+e−2x​⋅2=e2x+e−2x
2e2x+e−2x​⋅2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=2(e2x+e−2x)⋅2​
Annuler le facteur commun : 2=e2x+e−2x
(2ex−e−x​)2⋅2=2(ex−e−x)2​
(2ex−e−x​)2⋅2
(2ex−e−x​)2=22(ex−e−x)2​
(2ex−e−x​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ba​)c=bcac​=22(ex−e−x)2​
=2⋅22(ex−e−x)2​
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=22(ex−e−x)2⋅2​
Annuler le facteur commun : 2=2(ex−e−x)2​
13⋅2ex−e−x​⋅2=13(ex−e−x)
13⋅2ex−e−x​⋅2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=2(ex−e−x)⋅13⋅2​
Annuler le facteur commun : 2=(ex−e−x)⋅13
=e2x+e−2x+2(ex−e−x)2​−13(ex−e−x)
e2x+e−2x+2(ex−e−x)2​−13(ex−e−x)=−6
Appliquer les règles des exposants
e2x+e−2x+2(ex−e−x)2​−13(ex−e−x)=−6
Appliquer la règle de l'exposant: abc=(ab)ce2x=(ex)2,e−2x=(ex)−2,e−x=(ex)−1(ex)2+(ex)−2+2(ex−(ex)−1)2​−13(ex−(ex)−1)=−6
(ex)2+(ex)−2+2(ex−(ex)−1)2​−13(ex−(ex)−1)=−6
Récrire l'équation avec ex=u(u)2+(u)−2+2(u−(u)−1)2​−13(u−(u)−1)=−6
Résoudre u2+u−2+2(u−u−1)2​−13(u−u−1)=−6:u≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
u2+u−2+2(u−u−1)2​−13(u−u−1)=−6
Redéfiniru2+u21​+2u2(u2−1)2​−13(u−u1​)=−6
Multiplier par le PPCM
u2+u21​+2u2(u2−1)2​−13(u−u1​)=−6
Trouver le plus petit commun multiple de u2,2u2:2u2
u2,2u2
Plus petit commun multiple (PPCM)
Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans u2 ou dans 2u2=2u2
Multipier par PPCM =2u2u2⋅2u2+u21​⋅2u2+2u2(u2−1)2​⋅2u2−13(u−u1​)⋅2u2=−6⋅2u2
Simplifier
u2⋅2u2+u21​⋅2u2+2u2(u2−1)2​⋅2u2−13(u−u1​)⋅2u2=−6⋅2u2
Simplifier u2⋅2u2:2u4
u2⋅2u2
Appliquer la règle de l'exposant: ab⋅ac=ab+cu2u2=u2+2=2u2+2
Additionner les nombres : 2+2=4=2u4
Simplifier u21​⋅2u2:2
u21​⋅2u2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=u21⋅2u2​
Annuler le facteur commun : u2=1⋅2
Multiplier les nombres : 1⋅2=2=2
Simplifier 2u2(u2−1)2​⋅2u2:(u2−1)2
2u2(u2−1)2​⋅2u2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=2u2(u2−1)2⋅2u2​
Annuler le facteur commun : 2=u2(u2−1)2u2​
Annuler le facteur commun : u2=(u2−1)2
Simplifier −13(u−u1​)⋅2u2:−26u2(u−u1​)
−13(u−u1​)⋅2u2
Multiplier les nombres : 13⋅2=26=−26u2(u−u1​)
Simplifier −6⋅2u2:−12u2
−6⋅2u2
Multiplier les nombres : 6⋅2=12=−12u2
2u4+2+(u2−1)2−26u2(u−u1​)=−12u2
2u4+2+(u2−1)2−26u2(u−u1​)=−12u2
Développer 2u4+2+(u2−1)2−26u2(u−u1​):3u4−26u3−2u2+26u+3
2u4+2+(u2−1)2−26u2(u−u1​)
(u2−1)2:u4−2u2+1
Appliquer la formule du carré parfait: (a−b)2=a2−2ab+b2a=u2,b=1
=(u2)2−2u2⋅1+12
Simplifier (u2)2−2u2⋅1+12:u4−2u2+1
(u2)2−2u2⋅1+12
Appliquer la règle 1a=112=1=(u2)2−2⋅1⋅u2+1
(u2)2=u4
(u2)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ab)c=abc=u2⋅2
Multiplier les nombres : 2⋅2=4=u4
2u2⋅1=2u2
2u2⋅1
Multiplier les nombres : 2⋅1=2=2u2
=u4−2u2+1
=u4−2u2+1
=2u4+2+u4−2u2+1−26u2(u−u1​)
Développer −26u2(u−u1​):−26u3+26u
−26u2(u−u1​)
Appliquer la loi de la distribution: a(b−c)=ab−aca=−26u2,b=u,c=u1​=−26u2u−(−26u2)u1​
Appliquer les règles des moins et des plus−(−a)=a=−26u2u+26⋅u1​u2
Simplifier −26u2u+26⋅u1​u2:−26u3+26u
−26u2u+26⋅u1​u2
26u2u=26u3
26u2u
Appliquer la règle de l'exposant: ab⋅ac=ab+cu2u=u2+1=26u2+1
Additionner les nombres : 2+1=3=26u3
26⋅u1​u2=26u
26⋅u1​u2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=u1⋅26u2​
Multiplier les nombres : 1⋅26=26=u26u2​
Annuler le facteur commun : u=26u
=−26u3+26u
=−26u3+26u
=2u4+2+u4−2u2+1−26u3+26u
Simplifier 2u4+2+u4−2u2+1−26u3+26u:3u4−26u3−2u2+26u+3
2u4+2+u4−2u2+1−26u3+26u
Grouper comme termes=2u4+u4−26u3−2u2+26u+2+1
Additionner les éléments similaires : 2u4+u4=3u4=3u4−26u3−2u2+26u+2+1
Additionner les nombres : 2+1=3=3u4−26u3−2u2+26u+3
=3u4−26u3−2u2+26u+3
3u4−26u3−2u2+26u+3=−12u2
3u4−26u3−2u2+26u+3=−12u2
Résoudre 3u4−26u3−2u2+26u+3=−12u2:u≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
3u4−26u3−2u2+26u+3=−12u2
Déplacer 12u2vers la gauche
3u4−26u3−2u2+26u+3=−12u2
Ajouter 12u2 aux deux côtés3u4−26u3−2u2+26u+3+12u2=−12u2+12u2
Simplifier3u4−26u3+10u2+26u+3=0
3u4−26u3+10u2+26u+3=0
Trouver une solution pour 3u4−26u3+10u2+26u+3=0 par la méthode de Newton-Raphson:u≈−0.12310…
3u4−26u3+10u2+26u+3=0
Définition de l'approximation de Newton-Raphson
f(u)=3u4−26u3+10u2+26u+3
Trouver f′(u):12u3−78u2+20u+26
dud​(3u4−26u3+10u2+26u+3)
Appliquer la règle de l'addition/soustraction: (f±g)′=f′±g′=dud​(3u4)−dud​(26u3)+dud​(10u2)+dud​(26u)+dud​(3)
dud​(3u4)=12u3
dud​(3u4)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=3dud​(u4)
Appliquer la règle de la puissance: dxd​(xa)=a⋅xa−1=3⋅4u4−1
Simplifier=12u3
dud​(26u3)=78u2
dud​(26u3)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=26dud​(u3)
Appliquer la règle de la puissance: dxd​(xa)=a⋅xa−1=26⋅3u3−1
Simplifier=78u2
dud​(10u2)=20u
dud​(10u2)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=10dud​(u2)
Appliquer la règle de la puissance: dxd​(xa)=a⋅xa−1=10⋅2u2−1
Simplifier=20u
dud​(26u)=26
dud​(26u)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=26dudu​
Appliquer la dérivée commune: dudu​=1=26⋅1
Simplifier=26
dud​(3)=0
dud​(3)
Dérivée d'une constante: dxd​(a)=0=0
=12u3−78u2+20u+26+0
Simplifier=12u3−78u2+20u+26
Soit u0​=0Calculer un+1​ jusqu'à Δun+1​<0.000001
u1​=−0.11538…:Δu1​=0.11538…
f(u0​)=3⋅04−26⋅03+10⋅02+26⋅0+3=3f′(u0​)=12⋅03−78⋅02+20⋅0+26=26u1​=−0.11538…
Δu1​=∣−0.11538…−0∣=0.11538…Δu1​=0.11538…
u2​=−0.12305…:Δu2​=0.00766…
f(u1​)=3(−0.11538…)4−26(−0.11538…)3+10(−0.11538…)2+26(−0.11538…)+3=0.17360…f′(u1​)=12(−0.11538…)3−78(−0.11538…)2+20(−0.11538…)+26=22.63541…u2​=−0.12305…
Δu2​=∣−0.12305…−(−0.11538…)∣=0.00766…Δu2​=0.00766…
u3​=−0.12310…:Δu3​=0.00005…
f(u2​)=3(−0.12305…)4−26(−0.12305…)3+10(−0.12305…)2+26(−0.12305…)+3=0.00114…f′(u2​)=12(−0.12305…)3−78(−0.12305…)2+20(−0.12305…)+26=22.33544…u3​=−0.12310…
Δu3​=∣−0.12310…−(−0.12305…)∣=0.00005…Δu3​=0.00005…
u4​=−0.12310…:Δu4​=2.33489E−9
f(u3​)=3(−0.12310…)4−26(−0.12310…)3+10(−0.12310…)2+26(−0.12310…)+3=5.21461E−8f′(u3​)=12(−0.12310…)3−78(−0.12310…)2+20(−0.12310…)+26=22.33340…u4​=−0.12310…
Δu4​=∣−0.12310…−(−0.12310…)∣=2.33489E−9Δu4​=2.33489E−9
u≈−0.12310…
Appliquer une division longue:u+0.12310…3u4−26u3+10u2+26u+3​=3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…
3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…≈0
Trouver une solution pour 3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…=0 par la méthode de Newton-Raphson:u≈−0.72075…
3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…=0
Définition de l'approximation de Newton-Raphson
f(u)=3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…
Trouver f′(u):9u2−52.73863…u+13.24621…
dud​(3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…)
Appliquer la règle de l'addition/soustraction: (f±g)′=f′±g′=dud​(3u3)−dud​(26.36931…u2)+dud​(13.24621…u)+dud​(24.36931…)
dud​(3u3)=9u2
dud​(3u3)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=3dud​(u3)
Appliquer la règle de la puissance: dxd​(xa)=a⋅xa−1=3⋅3u3−1
Simplifier=9u2
dud​(26.36931…u2)=52.73863…u
dud​(26.36931…u2)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=26.36931…dud​(u2)
Appliquer la règle de la puissance: dxd​(xa)=a⋅xa−1=26.36931…⋅2u2−1
Simplifier=52.73863…u
dud​(13.24621…u)=13.24621…
dud​(13.24621…u)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=13.24621…dudu​
Appliquer la dérivée commune: dudu​=1=13.24621…⋅1
Simplifier=13.24621…
dud​(24.36931…)=0
dud​(24.36931…)
Dérivée d'une constante: dxd​(a)=0=0
=9u2−52.73863…u+13.24621…+0
Simplifier=9u2−52.73863…u+13.24621…
Soit u0​=−2Calculer un+1​ jusqu'à Δun+1​<0.000001
u1​=−1.14944…:Δu1​=0.85055…
f(u0​)=3(−2)3−26.36931…(−2)2+13.24621…(−2)+24.36931…=−131.60037…f′(u0​)=9(−2)2−52.73863…(−2)+13.24621…=154.72347…u1​=−1.14944…
Δu1​=∣−1.14944…−(−2)∣=0.85055…Δu1​=0.85055…
u2​=−0.79668…:Δu2​=0.35276…
f(u1​)=3(−1.14944…)3−26.36931…(−1.14944…)2+13.24621…(−1.14944…)+24.36931…=−30.25251…f′(u1​)=9(−1.14944…)2−52.73863…(−1.14944…)+13.24621…=85.75760…u2​=−0.79668…
Δu2​=∣−0.79668…−(−1.14944…)∣=0.35276…Δu2​=0.35276…
u3​=−0.72390…:Δu3​=0.07277…
f(u2​)=3(−0.79668…)3−26.36931…(−0.79668…)2+13.24621…(−0.79668…)+24.36931…=−4.43722…f′(u2​)=9(−0.79668…)2−52.73863…(−0.79668…)+13.24621…=60.97432…u3​=−0.72390…
Δu3​=∣−0.72390…−(−0.79668…)∣=0.07277…Δu3​=0.07277…
u4​=−0.72076…:Δu4​=0.00314…
f(u3​)=3(−0.72390…)3−26.36931…(−0.72390…)2+13.24621…(−0.72390…)+24.36931…=−0.17646…f′(u3​)=9(−0.72390…)2−52.73863…(−0.72390…)+13.24621…=56.14052…u4​=−0.72076…
Δu4​=∣−0.72076…−(−0.72390…)∣=0.00314…Δu4​=0.00314…
u5​=−0.72075…:Δu5​=5.80676E−6
f(u4​)=3(−0.72076…)3−26.36931…(−0.72076…)2+13.24621…(−0.72076…)+24.36931…=−0.00032…f′(u4​)=9(−0.72076…)2−52.73863…(−0.72076…)+13.24621…=55.93389…u5​=−0.72075…
Δu5​=∣−0.72075…−(−0.72076…)∣=5.80676E−6Δu5​=5.80676E−6
u6​=−0.72075…:Δu6​=1.98067E−11
f(u5​)=3(−0.72075…)3−26.36931…(−0.72075…)2+13.24621…(−0.72075…)+24.36931…=−1.10786E−9f′(u5​)=9(−0.72075…)2−52.73863…(−0.72075…)+13.24621…=55.93351…u6​=−0.72075…
Δu6​=∣−0.72075…−(−0.72075…)∣=1.98067E−11Δu6​=1.98067E−11
u≈−0.72075…
Appliquer une division longue:u+0.72075…3u3−26.36931…u2+13.24621…u+24.36931…​=3u2−28.53159…u+33.81062…
3u2−28.53159…u+33.81062…≈0
Trouver une solution pour 3u2−28.53159…u+33.81062…=0 par la méthode de Newton-Raphson:u≈1.38742…
3u2−28.53159…u+33.81062…=0
Définition de l'approximation de Newton-Raphson
f(u)=3u2−28.53159…u+33.81062…
Trouver f′(u):6u−28.53159…
dud​(3u2−28.53159…u+33.81062…)
Appliquer la règle de l'addition/soustraction: (f±g)′=f′±g′=dud​(3u2)−dud​(28.53159…u)+dud​(33.81062…)
dud​(3u2)=6u
dud​(3u2)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=3dud​(u2)
Appliquer la règle de la puissance: dxd​(xa)=a⋅xa−1=3⋅2u2−1
Simplifier=6u
dud​(28.53159…u)=28.53159…
dud​(28.53159…u)
Retirer la constante: (a⋅f)′=a⋅f′=28.53159…dudu​
Appliquer la dérivée commune: dudu​=1=28.53159…⋅1
Simplifier=28.53159…
dud​(33.81062…)=0
dud​(33.81062…)
Dérivée d'une constante: dxd​(a)=0=0
=6u−28.53159…+0
Simplifier=6u−28.53159…
Soit u0​=1Calculer un+1​ jusqu'à Δun+1​<0.000001
u1​=1.36744…:Δu1​=0.36744…
f(u0​)=3⋅12−28.53159…⋅1+33.81062…=8.27902…f′(u0​)=6⋅1−28.53159…=−22.53159…u1​=1.36744…
Δu1​=∣1.36744…−1∣=0.36744…Δu1​=0.36744…
u2​=1.38736…:Δu2​=0.01992…
f(u1​)=3⋅1.36744…2−28.53159…⋅1.36744…+33.81062…=0.40503…f′(u1​)=6⋅1.36744…−28.53159…=−20.32694…u2​=1.38736…
Δu2​=∣1.38736…−1.36744…∣=0.01992…Δu2​=0.01992…
u3​=1.38742…:Δu3​=0.00005…
f(u2​)=3⋅1.38736…2−28.53159…⋅1.38736…+33.81062…=0.00119…f′(u2​)=6⋅1.38736…−28.53159…=−20.20739…u3​=1.38742…
Δu3​=∣1.38742…−1.38736…∣=0.00005…Δu3​=0.00005…
u4​=1.38742…:Δu4​=5.15864E−10
f(u3​)=3⋅1.38742…2−28.53159…⋅1.38742…+33.81062…=1.04241E−8f′(u3​)=6⋅1.38742…−28.53159…=−20.20703…u4​=1.38742…
Δu4​=∣1.38742…−1.38742…∣=5.15864E−10Δu4​=5.15864E−10
u≈1.38742…
Appliquer une division longue:u−1.38742…3u2−28.53159…u+33.81062…​=3u−24.36931…
3u−24.36931…≈0
u≈8.12310…
Les solutions sontu≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
u≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
Vérifier les solutions
Trouver les points non définis (singularité):u=0
Prendre le(s) dénominateur(s) de u2+u−2+2(u−u−1)2​−13(u−u−1) et le comparer à zéro
Résoudre u2=0:u=0
u2=0
Appliquer la règle xn=0⇒x=0
u=0
u=0
Les points suivants ne sont pas définisu=0
Combiner des points indéfinis avec des solutions :
u≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
u≈−0.12310…,u≈−0.72075…,u≈1.38742…,u≈8.12310…
Resubstituer u=ex,résoudre pour x
Résoudre ex=−0.12310…:Aucune solution pour x∈R
ex=−0.12310…
af(x) ne peut pas être nulle ou négative pour x∈RAucunesolutionpourx∈R
Résoudre ex=−0.72075…:Aucune solution pour x∈R
ex=−0.72075…
af(x) ne peut pas être nulle ou négative pour x∈RAucunesolutionpourx∈R
Résoudre ex=1.38742…:x=ln(1.38742…)
ex=1.38742…
Appliquer les règles des exposants
ex=1.38742…
Si f(x)=g(x), alors ln(f(x))=ln(g(x))ln(ex)=ln(1.38742…)
Appliquer la loi des logarithmes: ln(ea)=aln(ex)=xx=ln(1.38742…)
x=ln(1.38742…)
Résoudre ex=8.12310…:x=ln(8.12310…)
ex=8.12310…
Appliquer les règles des exposants
ex=8.12310…
Si f(x)=g(x), alors ln(f(x))=ln(g(x))ln(ex)=ln(8.12310…)
Appliquer la loi des logarithmes: ln(ea)=aln(ex)=xx=ln(8.12310…)
x=ln(8.12310…)
x=ln(1.38742…),x=ln(8.12310…)
x=ln(1.38742…),x=ln(8.12310…)

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sin(3x-pi/4)=1sin(3x−4π​)=1(1-tan^2(A))/(1+tan^2(A))=11+tan2(A)1−tan2(A)​=1sin(2x)-0.8=0sin(2x)−0.8=0tan(a)=sqrt(15/7),sin(a)tan(a)=715​​,sin(a)2cos^2(θ)+sin(θ)=22cos2(θ)+sin(θ)=2
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