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Popular Trigonometría >

2(sin(x))2-5cos(x)-4=0

Solución

2 (sin (x)) 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

Solución

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = π + 0.22131 \dots + 2 πn

Grados

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 192.68038 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 (sin (x)) \cdot 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

Sumar

5 cos (x)

a ambos lados

4 sin (x) - 4 = 5 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(4 sin (x) - 4)^{2} = (5 cos (x))^{2}

Restar

(5 cos (x))^{2}

de ambos lados

(4 sin (x) - 4)^{2} - 25 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(- 4 + 4 sin (x))^{2} - 25 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 4 + 4 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

(- 4 + 4 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x)) : 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 9

(- 4 + 4 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x))

(- 4 + 4 sin (x))^{2} : 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 4, b = 4 sin (x)

= (- 4)^{2} + 2 (- 4) \cdot 4 sin (x) + (4 sin (x))^{2}

Simplificar

(- 4)^{2} + 2 (- 4) \cdot 4 sin (x) + (4 sin (x))^{2} : 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x)

(- 4)^{2} + 2 (- 4) \cdot 4 sin (x) + (4 sin (x))^{2}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= (- 4)^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 sin (x) + (4 sin (x))^{2}

(- 4)^{2} = 16

(- 4)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2}

4^{2} = 16

= 16

2 \cdot 4 \cdot 4 sin (x) = 32 sin (x)

2 \cdot 4 \cdot 4 sin (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 \cdot 4 = 32

= 32 sin (x)

(4 sin (x))^{2} = 16 sin^{2} (x)

(4 sin (x))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} sin^{2} (x)

4^{2} = 16

= 16 sin^{2} (x)

= 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x)

= 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x)

= 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x) - 25 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

- 25 (1 - sin^{2} (x)) : - 25 + 25 sin^{2} (x)

- 25 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 25, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 25 \cdot 1 - (- 25) sin^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 25 \cdot 1 + 25 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

25 \cdot 1 = 25

= - 25 + 25 sin^{2} (x)

= 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x)

Simplificar

16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x) : 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 9

16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) + 16 - 25

Sumar elementos similares:

16 sin^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) = 41 sin^{2} (x)

= - 32 sin (x) + 41 sin^{2} (x) + 16 - 25

Sumar/restar lo siguiente:

16 - 25 = - 9

= 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 9

= 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 9

= 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 9

- 9 - 32 sin (x) + 41 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 9 - 32 sin (x) + 41 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 9 - 32 u + 41 u^{2} = 0

- 9 - 32 u + 41 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{9}{41}

- 9 - 32 u + 41 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

41 u^{2} - 32 u - 9 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

41 u^{2} - 32 u - 9 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 41, b = - 32, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm ( - 32 ) ^{2} - 4 \cdot 41 ( - 9 )}{2 \cdot 41}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm ( - 32 ) ^{2} - 4 \cdot 41 ( - 9 )}{2 \cdot 41}

(- 32)^{2} - 4 \cdot 41 (- 9) = 50

(- 32)^{2} - 4 \cdot 41 (- 9)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 32)^{2} + 4 \cdot 41 \cdot 9

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 32)^{2} = 3 2^{2}

= 3 2^{2} + 4 \cdot 41 \cdot 9

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 41 \cdot 9 = 1476

= 3 2^{2} + 1476

3 2^{2} = 1024

= 1024 + 1476

Sumar:

1024 + 1476 = 2500

= 2500

Descomponer el número en factores primos:

2500 = 5 0^{2}

= 5 0^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5 0^{2} = 50

= 50

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm 50}{2 \cdot 41}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 32 ) + 50}{2 \cdot 41}, u_{2} = \frac{- ( - 32 ) - 50}{2 \cdot 41}

u = \frac{- ( - 32 ) + 50}{2 \cdot 41} : 1

\frac{- ( - 32 ) + 50}{2 \cdot 41}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{32 + 50}{2 \cdot 41}

Sumar:

32 + 50 = 82

= \frac{82}{2 \cdot 41}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{82}{82}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 32 ) - 50}{2 \cdot 41} : - \frac{9}{41}

\frac{- ( - 32 ) - 50}{2 \cdot 41}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{32 - 50}{2 \cdot 41}

Restar:

32 - 50 = - 18

= \frac{- 18}{2 \cdot 41}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 18}{82}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{18}{82}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{9}{41}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1, u = - \frac{9}{41}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{9}{41}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{9}{41}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{9}{41} : x = arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{9}{41}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{9}{41}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{9}{41}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 sin (x) 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{π}{2} + 2 πn :

Verdadero

\frac{π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

2 sin (x) 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

por

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

2 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) \cdot 2 - 5 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) - 4 = 0

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn :

Falso

arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 π 1

Multiplicar

2 sin (x) 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

por

x = arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 π 1

2 sin (arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 π 1) \cdot 2 - 5 cos (arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 π 1) - 4 = 0

Simplificar

- 9.75609 \dots = 0

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn :

Verdadero

π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1

Multiplicar

2 sin (x) 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

por

x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1

2 sin (π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1) \cdot 2 - 5 cos (π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1) - 4 = 0

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = π + 0.22131 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

cos(x/2+20)=sin(x)

0=cos^2(x)+sin^2(x)-2sin(x),0<= x<= 2pi

sin(θ)=-7/25 ,sin(2θ)

cos(θ)= 9/12

csc(x)+cot(x)=-1,0<= x<= 2pi