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Popular Trigonometría >

tan(2x)+sec(2x)=5

Solución

tan (2 x) + sec (2 x) = 5

Solución

x = \frac{1.17600 \dots}{2} + πn

Grados

x = 33.69006 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan (2 x) + sec (2 x) = 5

Restar

5

de ambos lados

tan (2 x) + sec (2 x) - 5 = 0

Expresar con seno, coseno

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )} - 5 = 0

Simplificar

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )} - 5 : \frac{sin ( 2 x ) + 1 - 5 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )} - 5

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )} - 5

Convertir a fracción:

5 = \frac{5 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )} - \frac{5 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1 - 5 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{sin ( 2 x ) + 1 - 5 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (2 x) + 1 - 5 cos (2 x) = 0

Sumar

5 cos (2 x)

a ambos lados

sin (2 x) + 1 = 5 cos (2 x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(sin (2 x) + 1)^{2} = (5 cos (2 x))^{2}

Restar

(5 cos (2 x))^{2}

de ambos lados

(sin (2 x) + 1)^{2} - 25 cos^{2} (2 x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(1 + sin (2 x))^{2} - 25 cos^{2} (2 x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 + sin (2 x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (2 x))

Simplificar

(1 + sin (2 x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (2 x)) : 26 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 24

(1 + sin (2 x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (2 x))

(1 + sin (2 x))^{2} : 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (2 x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Simplificar

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x) : 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 25 (1 - sin^{2} (2 x))

Expandir

- 25 (1 - sin^{2} (2 x)) : - 25 + 25 sin^{2} (2 x)

- 25 (1 - sin^{2} (2 x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 25, b = 1, c = sin^{2} (2 x)

= - 25 \cdot 1 - (- 25) sin^{2} (2 x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 25 \cdot 1 + 25 sin^{2} (2 x)

Multiplicar los numeros:

25 \cdot 1 = 25

= - 25 + 25 sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 25 + 25 sin^{2} (2 x)

Simplificar

1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 25 + 25 sin^{2} (2 x) : 26 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 24

1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 25 + 25 sin^{2} (2 x)

Agrupar términos semejantes

= 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) + 25 sin^{2} (2 x) + 1 - 25

Sumar elementos similares:

sin^{2} (2 x) + 25 sin^{2} (2 x) = 26 sin^{2} (2 x)

= 2 sin (2 x) + 26 sin^{2} (2 x) + 1 - 25

Sumar/restar lo siguiente:

1 - 25 = - 24

= 26 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 24

= 26 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 24

= 26 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 24

- 24 + 26 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) = 0

Usando el método de sustitución

- 24 + 26 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) = 0

Sea:

sin (2 x) = u

- 24 + 26 u^{2} + 2 u = 0

- 24 + 26 u^{2} + 2 u = 0 : u = \frac{12}{13}, u = - 1

- 24 + 26 u^{2} + 2 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

26 u^{2} + 2 u - 24 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

26 u^{2} + 2 u - 24 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 26, b = 2, c = - 24

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 24 )}{2 \cdot 26}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 24 )}{2 \cdot 26}

2^{2} - 4 \cdot 26 (- 24) = 50

2^{2} - 4 \cdot 26 (- 24)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 26 \cdot 24

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 26 \cdot 24 = 2496

= 2^{2} + 2496

2^{2} = 4

= 4 + 2496

Sumar:

4 + 2496 = 2500

= 2500

Descomponer el número en factores primos:

2500 = 5 0^{2}

= 5 0^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5 0^{2} = 50

= 50

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 50}{2 \cdot 26}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 50}{2 \cdot 26}, u_{2} = \frac{- 2 - 50}{2 \cdot 26}

u = \frac{- 2 + 50}{2 \cdot 26} : \frac{12}{13}

\frac{- 2 + 50}{2 \cdot 26}

Sumar/restar lo siguiente:

- 2 + 50 = 48

= \frac{48}{2 \cdot 26}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{48}{52}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{12}{13}

u = \frac{- 2 - 50}{2 \cdot 26} : - 1

\frac{- 2 - 50}{2 \cdot 26}

Restar:

- 2 - 50 = - 52

= \frac{- 52}{2 \cdot 26}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 52}{52}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{52}{52}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{12}{13}, u = - 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (2 x)

sin (2 x) = \frac{12}{13}, sin (2 x) = - 1

sin (2 x) = \frac{12}{13}, sin (2 x) = - 1

sin (2 x) = \frac{12}{13} : x = \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn

sin (2 x) = \frac{12}{13}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (2 x) = \frac{12}{13}

Soluciones generales para

sin (2 x) = \frac{12}{13}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Resolver

2 x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn : x = \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn

2 x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn

Resolver

2 x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn

2 x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = π - arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn

sin (2 x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

sin (2 x) = - 1

Soluciones generales para

sin (2 x) = - 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Resolver

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

tan (2 x) + sec (2 x) = 5

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn :

Verdadero

\frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn

Sustituir

n = 1

\frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + π 1

Multiplicar

tan (2 x) + sec (2 x) = 5

por

x = \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + π 1

tan (2 (\frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + π 1)) + sec (2 (\frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + π 1)) = 5

Simplificar

5 = 5

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn :

Falso

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + π 1

Multiplicar

tan (2 x) + sec (2 x) = 5

por

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + π 1

tan (2 (\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + π 1)) + sec (2 (\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + π 1)) = 5

Simplificar

- 5 = 5

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{3 π}{4} + πn :

Falso

\frac{3 π}{4} + πn

Sustituir

n = 1

\frac{3 π}{4} + π 1

Multiplicar

tan (2 x) + sec (2 x) = 5

por

x = \frac{3 π}{4} + π 1

tan (2 (\frac{3 π}{4} + π 1)) + sec (2 (\frac{3 π}{4} + π 1)) = 5

Sin definir

\Rightarrow Falso

x = \frac{arcsin ( \frac{12}{13} )}{2} + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{1.17600 \dots}{2} + πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan(2x)+sec(2x)=1

cos^2(x)=((4k-5))/(10)

csc(A)=3

cos(x)=(0.95293)/(1.36156)

solvefor θ,W=F*d*cos(θ)