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Popular Trigonometría >

tanh(x)+4sech(x)=4

Solución

tanh (x) + 4 sech (x) = 4

Solución

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

Grados

x = 0^{\circ}, x = 29.26815 \dots^{\circ}

Pasos de solución

tanh (x) + 4 sech (x) = 4

Re-escribir usando identidades trigonométricas

tanh (x) + 4 sech (x) = 4

Utilizar la identidad hiperbólica:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 sech (x) = 4

Utilizar la identidad hiperbólica:

sech (x) = \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4 : x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

Multiplicar ambos lados por

e^{x} + e^{- x}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} (e^{x} + e^{- x}) + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} (e^{x} + e^{- x}) = 4 (e^{x} + e^{- x})

Simplificar

e^{x} - e^{- x} + 8 = 4 (e^{x} + e^{- x})

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} - e^{- x} + 8 = 4 (e^{x} + e^{- x})

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} - (e^{x})^{- 1} + 8 = 4 (e^{x} + (e^{x})^{- 1})

e^{x} - (e^{x})^{- 1} + 8 = 4 (e^{x} + (e^{x})^{- 1})

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

u - (u)^{- 1} + 8 = 4 (u + (u)^{- 1})

Resolver

u - u^{- 1} + 8 = 4 (u + u^{- 1}) : u = 1, u = \frac{5}{3}

u - u^{- 1} + 8 = 4 (u + u^{- 1})

Simplificar

u - \frac{1}{u} + 8 = 4 (u + \frac{1}{u})

Multiplicar ambos lados por

u

u - \frac{1}{u} + 8 = 4 (u + \frac{1}{u})

Multiplicar ambos lados por

u

uu - \frac{1}{u} u + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

Simplificar

uu - \frac{1}{u} u + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

Simplificar

uu : u^{2}

uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Simplificar

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= - 1

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

Desarrollar

4 (u + \frac{1}{u}) u : 4 u^{2} + 4

4 (u + \frac{1}{u}) u

= 4 u (u + \frac{1}{u})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 4 u, b = u, c = \frac{1}{u}

= 4 uu + 4 u \frac{1}{u}

= 4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u

Simplificar

4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u : 4 u^{2} + 4

4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u

4 uu = 4 u^{2}

4 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

4 \cdot \frac{1}{u} u = 4

4 \cdot \frac{1}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 1 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= 4

= 4 u^{2} + 4

= 4 u^{2} + 4

u^{2} - 1 + 8 u = 4 u^{2} + 4

Desplace

1

a la derecha

u^{2} - 1 + 8 u = 4 u^{2} + 4

Sumar

1

a ambos lados

u^{2} - 1 + 8 u + 1 = 4 u^{2} + 4 + 1

Simplificar

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

Resolver

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5 : u = 1, u = \frac{5}{3}

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

Desplace

5

a la izquierda

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

Restar

5

de ambos lados

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2} + 5 - 5

Simplificar

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

Desplace

4 u^{2}

a la izquierda

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

Restar

4 u^{2}

de ambos lados

u^{2} + 8 u - 5 - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 4 u^{2}

Simplificar

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 3, b = 8, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 5 )}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 5 )}{2 ( - 3 )}

8^{2} - 4 (- 3) (- 5) = 2

8^{2} - 4 (- 3) (- 5)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 5 = 60

= 8^{2} - 60

8^{2} = 64

= 64 - 60

Restar:

64 - 60 = 4

= 4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 2}{2 ( - 3 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )} : 1

\frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 2}{- 2 \cdot 3}

Sumar/restar lo siguiente:

- 8 + 2 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{6}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )} : \frac{5}{3}

\frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 2}{- 2 \cdot 3}

Restar:

- 8 - 2 = - 10

= \frac{- 10}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 10}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{10}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{5}{3}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1, u = \frac{5}{3}

u = 1, u = \frac{5}{3}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

u - u^{- 1} + 8

y comparar con cero

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

4 (u + u^{- 1})

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 1, u = \frac{5}{3}

u = 1, u = \frac{5}{3}

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Simplificar

ln (1) : 0

ln (1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Resolver

e^{x} = \frac{5}{3} : x = ln (\frac{5}{3})

e^{x} = \frac{5}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = \frac{5}{3}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5}{3})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5}{3})

x = ln (\frac{5}{3})

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

Verificar las soluciones:

x = 0

Verdadero

, x = ln (\frac{5}{3})

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

x = 0 :

Verdadero

\frac{e ^{0} - e ^{- 0}}{e ^{0} + e ^{- 0}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{0} + e ^{- 0}} = 4

\frac{e ^{0} - e ^{- 0}}{e ^{0} + e ^{- 0}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{0} + e ^{- 0}} = 4

\frac{e ^{0} - e ^{- 0}}{e ^{0} + e ^{- 0}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{0} + e ^{- 0}}

Aplicar la regla

a^{0} = 1, a \neq = 0

e^{0} = 1, e^{- 0} = 1

= \frac{1 - 1}{1 + 1} + 4 \cdot \frac{2}{1 + 1}

\frac{1 - 1}{1 + 1} = 0

\frac{1 - 1}{1 + 1}

Restar:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= \frac{0}{2}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

4 \cdot \frac{2}{1 + 1} = 4

4 \cdot \frac{2}{1 + 1}

\frac{2}{1 + 1} = 1

\frac{2}{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4

= 0 + 4

Sumar:

0 + 4 = 4

= 4

4 = 4

Verdadero

Sustituir

x = ln (\frac{5}{3}) :

Verdadero

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = 4

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = 4

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{8}{17}

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

Simplificar

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

en una fracción:

\frac{34}{15}

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

Mínimo común múltiplo de

3, 5 : 15

3, 5

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

5 : 5

5

5

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 5

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

3

5

= 3 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{5}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

Para

\frac{3}{5} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} + \frac{9}{15}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 + 9}{15}

Sumar:

25 + 9 = 34

= \frac{34}{15}

= \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{34}{15}}

Simplificar

\frac{5}{3} - \frac{3}{5}

en una fracción:

\frac{16}{15}

\frac{5}{3} - \frac{3}{5}

Mínimo común múltiplo de

3, 5 : 15

3, 5

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

5 : 5

5

5

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 5

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

3

5

= 3 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{5}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

Para

\frac{3}{5} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} - \frac{9}{15}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 - 9}{15}

Restar:

25 - 9 = 16

= \frac{16}{15}

= \frac{\frac{16}{15}}{\frac{34}{15}}

Dividir fracciones:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{16 \cdot 15}{15 \cdot 34}

Eliminar los terminos comunes:

15

= \frac{16}{34}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{8}{17}

4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{60}{17}

4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

\frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{15}{17}

\frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{2}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

Simplificar

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

en una fracción:

\frac{34}{15}

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

Mínimo común múltiplo de

3, 5 : 15

3, 5

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

5 : 5

5

5

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 5

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

3

5

= 3 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{5}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

Para

\frac{3}{5} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} + \frac{9}{15}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 + 9}{15}

Sumar:

25 + 9 = 34

= \frac{34}{15}

= \frac{2}{\frac{34}{15}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 \cdot 15}{34}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 15 = 30

= \frac{30}{34}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{15}{17}

= 4 \cdot \frac{15}{17}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{15 \cdot 4}{17}

Multiplicar los numeros:

15 \cdot 4 = 60

= \frac{60}{17}

= \frac{8}{17} + \frac{60}{17}

Simplificar

\frac{8}{17} + \frac{60}{17}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{8 + 60}{17}

Sumar:

8 + 60 = 68

= \frac{68}{17}

Dividir:

\frac{68}{17} = 4

= 4

= 4

4 = 4

Verdadero

Las soluciones son

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

Gráfica

Ejemplos populares

36/49+cos^2(θ)=1

sin(x)+3/2 =0

3cos^2(x)+10cos(x)+3=0

-1=sin(k)(45)

-494cos(A)=-241