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Popular Trigonometría >

arctan(3x)+arctan(x)= pi/4

Solución

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Solución

x = \frac{7 - 2}{3}

Pasos de solución

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

arctan (3 x) + arctan (x)

Utilizar la identidad suma-producto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx})

arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}) = \frac{π}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

Resolver

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1 : x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

Simplificar

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} : \frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}}

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}

Sumar elementos similares:

3 x + x = 4 x

= \frac{4 x}{1 - 3 xx}

1 - 3 xx = 1 - 3 x^{2}

1 - 3 xx

3 xx = 3 x^{2}

3 xx

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 3 x^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 3 x^{2}

= 1 - 3 x^{2}

= \frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} = 1

Multiplicar ambos lados por

1 - 3 x^{2}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} = 1

Multiplicar ambos lados por

1 - 3 x^{2}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Simplificar

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Simplificar

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) : 4 x

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2})

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 x ( 1 - 3 x ^{2} )}{1 - 3 x ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

1 - 3 x^{2}

= 4 x

Simplificar

1 \cdot (1 - 3 x^{2}) : 1 - 3 x^{2}

1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Multiplicar:

1 \cdot (1 - 3 x^{2}) = (1 - 3 x^{2})

= (1 - 3 x^{2})

Quitar los parentesis:

(a) = a

= 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

Resolver

4 x = 1 - 3 x^{2} : x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

4 x = 1 - 3 x^{2}

Intercambiar lados

1 - 3 x^{2} = 4 x

Desplace

4 x

a la izquierda

1 - 3 x^{2} = 4 x

Restar

4 x

de ambos lados

1 - 3 x^{2} - 4 x = 4 x - 4 x

Simplificar

1 - 3 x^{2} - 4 x = 0

1 - 3 x^{2} - 4 x = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 3, b = - 4, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 1}{2 ( - 3 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 1}{2 ( - 3 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 3) \cdot 1 = 27

(- 4)^{2} - 4 (- 3) \cdot 1

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 4^{2} + 12

4^{2} = 16

= 16 + 12

Sumar:

16 + 12 = 28

= 28

Descomposición en factores primos de

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

divida por

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divida por

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 7 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 27

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 7}{2 ( - 3 )}

Separar las soluciones

x_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )}, x_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )}

x = \frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )} : - \frac{2 + 7}{3}

\frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 2 7}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4 + 2 7}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 2 7}{6}

Cancelar

\frac{4 + 2 7}{6} : \frac{2 + 7}{3}

\frac{4 + 2 7}{6}

Factorizar

4 + 27 : 2 (2 + 7)

4 + 27

Reescribir como

= 2 \cdot 2 + 27

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 + 7)

= \frac{2 ( 2 + 7 )}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 + 7}{3}

= - \frac{2 + 7}{3}

x = \frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )} : \frac{7 - 2}{3}

\frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 2 7}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4 - 2 7}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 27 = - (27 - 4)

= \frac{2 7 - 4}{6}

Factorizar

27 - 4 : 2 (7 - 2)

27 - 4

Reescribir como

= 27 - 2 \cdot 2

Factorizar el termino común

2

= 2 (7 - 2)

= \frac{2 ( 7 - 2 )}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{7 - 2}{3}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}

y comparar con cero

Resolver

1 - 3 xx = 0 : x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

1 - 3 xx = 0

Desplace

1

a la derecha

1 - 3 xx = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - 3 xx - 1 = 0 - 1

Simplificar

- 3 xx = - 1

- 3 xx = - 1

Simplificar

- 3 x^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 3

\frac{- 3 x ^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}

x^{2} = \frac{1}{3}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

\frac{1}{3} = \frac{1}{3}

\frac{1}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{3}

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

Los siguientes puntos no están definidos

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

- \frac{2 + 7}{3} :

Falso

- \frac{2 + 7}{3}

Sustituir

n = 1

- \frac{2 + 7}{3}

Multiplicar

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

por

x = - \frac{2 + 7}{3}

arctan (3 (- \frac{2 + 7}{3})) + arctan (- \frac{2 + 7}{3}) = \frac{π}{4}

Simplificar

- 2.35619 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{7 - 2}{3} :

Verdadero

\frac{7 - 2}{3}

Sustituir

n = 1

\frac{7 - 2}{3}

Multiplicar

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

por

x = \frac{7 - 2}{3}

arctan (3 \cdot \frac{7 - 2}{3}) + arctan (\frac{7 - 2}{3}) = \frac{π}{4}

Simplificar

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{7 - 2}{3}

Gráfica

Ejemplos populares

4sin(θ)=sqrt(3)sec(θ),0<= θ<180

(sin(82))/(sin(x))=sqrt(5)

(2cos^2(x))/(2(1-sin(x))-cos^2(x))=0

2sin(x)=-3

tan(θ)=(-12)/5 ,cot(θ)