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Beliebt Trigonometrie >

arctan(3x)+arctan(x)= pi/4

Lösung

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Lösung

x = \frac{7 - 2}{3}

Schritte zur Lösung

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arctan (3 x) + arctan (x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx})

arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}) = \frac{π}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

arctan (\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

Löse

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1 : x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} = 1

Vereinfache

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx} : \frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}}

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}

Addiere gleiche Elemente:

3 x + x = 4 x

= \frac{4 x}{1 - 3 xx}

1 - 3 xx = 1 - 3 x^{2}

1 - 3 xx

3 xx = 3 x^{2}

3 xx

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 3 x^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 3 x^{2}

= 1 - 3 x^{2}

= \frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} = 1

Multipliziere beide Seiten mit

1 - 3 x^{2}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} = 1

Multipliziere beide Seiten mit

1 - 3 x^{2}

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Vereinfache

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Vereinfache

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2}) : 4 x

\frac{4 x}{1 - 3 x ^{2}} (1 - 3 x^{2})

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 x ( 1 - 3 x ^{2} )}{1 - 3 x ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 - 3 x^{2}

= 4 x

Vereinfache

1 \cdot (1 - 3 x^{2}) : 1 - 3 x^{2}

1 \cdot (1 - 3 x^{2})

Multipliziere:

1 \cdot (1 - 3 x^{2}) = (1 - 3 x^{2})

= (1 - 3 x^{2})

Entferne die Klammern:

(a) = a

= 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

4 x = 1 - 3 x^{2}

Löse

4 x = 1 - 3 x^{2} : x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

4 x = 1 - 3 x^{2}

Tausche die Seiten

1 - 3 x^{2} = 4 x

Verschiebe

4 x

auf die linke Seite

1 - 3 x^{2} = 4 x

Subtrahiere

4 x

von beiden Seiten

1 - 3 x^{2} - 4 x = 4 x - 4 x

Vereinfache

1 - 3 x^{2} - 4 x = 0

1 - 3 x^{2} - 4 x = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 3, b = - 4, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 1}{2 ( - 3 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 1}{2 ( - 3 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 3) \cdot 1 = 27

(- 4)^{2} - 4 (- 3) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 4^{2} + 12

4^{2} = 16

= 16 + 12

Addiere die Zahlen:

16 + 12 = 28

= 28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 27

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 7}{2 ( - 3 )}

Trenne die Lösungen

x_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )}, x_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )}

x = \frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )} : - \frac{2 + 7}{3}

\frac{- ( - 4 ) + 2 7}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 2 7}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4 + 2 7}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 2 7}{6}

Streiche

\frac{4 + 2 7}{6} : \frac{2 + 7}{3}

\frac{4 + 2 7}{6}

Faktorisiere

4 + 27 : 2 (2 + 7)

4 + 27

Schreibe um

= 2 \cdot 2 + 27

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 + 7)

= \frac{2 ( 2 + 7 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 + 7}{3}

= - \frac{2 + 7}{3}

x = \frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )} : \frac{7 - 2}{3}

\frac{- ( - 4 ) - 2 7}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 2 7}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4 - 2 7}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 27 = - (27 - 4)

= \frac{2 7 - 4}{6}

Faktorisiere

27 - 4 : 2 (7 - 2)

27 - 4

Schreibe um

= 27 - 2 \cdot 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (7 - 2)

= \frac{2 ( 7 - 2 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{7 - 2}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

Nimm den/die Nenner von

\frac{3 x + x}{1 - 3 xx}

und vergleiche mit Null

Löse

1 - 3 xx = 0 : x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

1 - 3 xx = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 3 xx = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 3 xx - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- 3 xx = - 1

- 3 xx = - 1

Vereinfache

- 3 x^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 3

\frac{- 3 x ^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}

x^{2} = \frac{1}{3}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

\frac{1}{3} = \frac{1}{3}

\frac{1}{3}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{3}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{3}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{3}

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

x = \frac{1}{3}, x = - \frac{1}{3}

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

x = - \frac{2 + 7}{3}, x = \frac{7 - 2}{3}

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

- \frac{2 + 7}{3} :

Falsch

- \frac{2 + 7}{3}

Setze ein

n = 1

- \frac{2 + 7}{3}

Setze

x = - \frac{2 + 7}{3}

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

ein, um zu lösen

arctan (3 (- \frac{2 + 7}{3})) + arctan (- \frac{2 + 7}{3}) = \frac{π}{4}

Fasse zusammen

- 2.35619 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{7 - 2}{3} :

Wahr

\frac{7 - 2}{3}

Setze ein

n = 1

\frac{7 - 2}{3}

Setze

x = \frac{7 - 2}{3}

arctan (3 x) + arctan (x) = \frac{π}{4}

ein, um zu lösen

arctan (3 \cdot \frac{7 - 2}{3}) + arctan (\frac{7 - 2}{3}) = \frac{π}{4}

Fasse zusammen

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Wahr

x = \frac{7 - 2}{3}

Graph

Beliebte Beispiele

4sin(θ)=sqrt(3)sec(θ),0<= θ<180

4 sin (θ) = 3 sec (θ), 0 \leq θ < 18 0^{\circ}

(sin(82))/(sin(x))=sqrt(5)

\frac{sin ( 8 2 ^{\circ} )}{sin ( x )} = 5

(2cos^2(x))/(2(1-sin(x))-cos^2(x))=0

\frac{2 cos ^{2} ( x )}{2 ( 1 - sin ( x ) ) - cos ^{2} ( x )} = 0

2sin(x)=-3

2 sin (x) = - 3

tan(θ)=(-12)/5 ,cot(θ)

tan (θ) = \frac{- 12}{5}, cot (θ)