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Popular Trigonometría >

cos^3(x)= 1/(4(3cos(x)+cos(3x)))

Solución

cos^{3} (x) = \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

Solución

x = 0.88929 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.88929 \dots + 2 πn, x = 2.25229 \dots + 2 πn, x = - 2.25229 \dots + 2 πn

Grados

x = 50.95278 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 309.04721 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 129.04721 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 129.04721 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos^{3} (x) = \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

Restar

\frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

de ambos lados

cos^{3} (x) - \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )} = 0

Simplificar

cos^{3} (x) - \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )} : \frac{4 cos ^{3} ( x ) ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) ) - 1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

cos^{3} (x) - \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

Convertir a fracción:

cos^{3} (x) = \frac{cos ^{3} ( x ) 4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

= \frac{cos ^{3} ( x ) \cdot 4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )} - \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{3} ( x ) \cdot 4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) ) - 1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

\frac{4 cos ^{3} ( x ) ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) ) - 1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos^{3} (x) (3 cos (x) + cos (3 x)) - 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + (cos (3 x) + 3 cos (x)) \cdot 4 cos^{3} (x)

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

cos (3 x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (3 x)

Reescribir como

= cos (2 x + x)

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

Simplificar

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Expandir

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

= cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) - 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Expandir

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= cos (x) 2 cos^{2} (x) - cos (x) 1

= 2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

Simplificar

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 cos (x)

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Expandir

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) 1 - (- 2 cos (x)) cos^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

Simplificar

- 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 cos (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Simplificar

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Agrupar términos semejantes

= 2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Sumar elementos similares:

2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) = 4 cos^{3} (x)

= 4 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Sumar elementos similares:

- cos (x) - 2 cos (x) = - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= - 1 + 4 cos^{3} (x) (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) + 3 cos (x))

4 cos^{3} (x) (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) + 3 cos (x)) = 16 cos^{6} (x)

4 cos^{3} (x) (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) + 3 cos (x))

Sumar elementos similares:

- 3 cos (x) + 3 cos (x) = 0

= 4 \cdot 4 cos^{3} (x) cos^{3} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 = 16

= 16 cos^{3} (x) cos^{3} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{3} (x) cos^{3} (x) = cos^{3 + 3} (x)

= 16 cos^{3 + 3} (x)

Sumar:

3 + 3 = 6

= 16 cos^{6} (x)

= - 1 + 16 cos^{6} (x)

- 1 + 16 cos^{6} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + 16 cos^{6} (x) = 0

Sea:

cos (x) = w

- 1 + 16 w^{6} = 0

- 1 + 16 w^{6} = 0

Desplace

1

a la derecha

- 1 + 16 w^{6} = 0

Sumar

1

a ambos lados

- 1 + 16 w^{6} + 1 = 0 + 1

Simplificar

16 w^{6} = 1

16 w^{6} = 1

Dividir ambos lados entre

16

16 w^{6} = 1

Dividir ambos lados entre

16

\frac{16 w ^{6}}{16} = \frac{1}{16}

Simplificar

w^{6} = \frac{1}{16}

w^{6} = \frac{1}{16}

Re-escribir la ecuación con

u = w^{2}

u^{3} = w^{6}

u^{3} = \frac{1}{16}

Resolver

u^{3} = \frac{1}{16}

Para

g^{3} (x) = f (a)

las soluciones son

Sustituir hacia atrás la

u = w^{2},

resolver para

w

Resolver

Simplificar

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

Descomposición en factores primos de

16 : 2^{4}

16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

Aplicar las leyes de los exponentes:

Aplicar la regla

Racionalizar

Multiplicar por el conjugado

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

1 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

= 2^{1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Simplificar

1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}

en una fracción:

2

1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1}{1}

= \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}

Mínimo común múltiplo de

1, 3, 3 : 3

1, 3, 3

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

1

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Calcular un número compuesto de factores que aparezcan al menos en alguno de los siguientes:

1, 3, 3

= 3

Multiplicar los numeros:

3 = 3

= 3

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{1}{1} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 3} = \frac{3}{3}

= \frac{3}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 + 2 + 1}{3}

Sumar:

3 + 2 + 1 = 6

= \frac{6}{3}

Dividir:

\frac{6}{3} = 2

= 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

w^{2} = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

w = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}, w = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4} = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4} : \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

w = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}, w = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Resolver

Sustituir

w = u + v i

Desarrollar

(u + v i)^{2} : (u^{2} - v^{2}) + 2 i uv

(u + v i)^{2}

= (u + i v)^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = u, b = v i

= u^{2} + 2 uv i + (v i)^{2}

(v i)^{2} = - v^{2}

(v i)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} v^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) v^{2}

Simplificar

= - v^{2}

= u^{2} + 2 i uv - v^{2}

Reescribir

u^{2} + 2 i uv - v^{2}

en la forma binómica:

(u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

u^{2} + 2 i uv - v^{2}

Agrupar la parte real y la parte imaginaria del número complejo

= (u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

= (u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

Desarrollar

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

Descomposición en factores primos de

16 : 2^{4}

16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

Aplicar las leyes de los exponentes:

Aplicar la regla

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

1 \cdot (- 1 + 3 i) = - 1 + 3 i

1 \cdot (- 1 + 3 i)

Multiplicar:

1 \cdot (- 1 + 3 i) = (- 1 + 3 i)

= (- 1 + 3 i)

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= - 1 + 3 i

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

Reescribir

en la forma binómica:

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} + \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

= 4 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

1

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Sumar:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Aplicar la regla

a^{1} = a

= 2

= 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

1 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

= 4 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

1

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Sumar:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Aplicar la regla

a^{1} = a

= 2

= 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} + \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} + \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

(u^{2} - v^{2}) + 2 i uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} + i \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

(u^{2} - v^{2}) + 2 i uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} + i \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Un conjunto de números complejos solo pueden ser iguales si su partes real e imaginaria son iguales.Reescribir como un sistema de ecuaciones:

[u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} 2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}]

[u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} 2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}]

Despejar

u

para

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8} : u = \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Descomponer el número en factores primos:

8 = 2^{3}

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Convertir a fracción:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Restar:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 uv = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 v

2 uv = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 v

\frac{2 uv}{2 v} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Simplificar

\frac{2 uv}{2 v} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Simplificar

\frac{2 uv}{2 v} : u

\frac{2 uv}{2 v}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{uv}{v}

Eliminar los terminos comunes:

v

= u

Simplificar

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v} : \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b \cdot c}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 2 v}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2 = 2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2 = 2^{\frac{7}{3} + 1}

= 2^{\frac{7}{3} + 1}

\frac{7}{3} + 1 = \frac{10}{3}

\frac{7}{3} + 1

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 3}{3}

= \frac{7}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{7 + 1 \cdot 3}{3}

7 + 1 \cdot 3 = 10

7 + 1 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= 7 + 3

Sumar:

7 + 3 = 10

= 10

= \frac{10}{3}

= 2^{\frac{10}{3}}

= \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

Sustituir las soluciones

u = \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Para

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

, sustituir

u

con

\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v} : v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Para

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

, sustituir

u

con

\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Resolver

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} : v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Multiplicar por el mínimo común múltiplo

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Simplificar

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} : \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2}

\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{10}{3}} = 2^{3 + \frac{1}{3}}

= 2^{3 + \frac{1}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{3} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Simplificar

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(3)^{2} : 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 3

(2^{3})^{2} : 2^{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= 2^{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

= (2^{\frac{1}{3}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= 2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = 2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{6 + \frac{2}{3}}

= 2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}

= \frac{3}{2 ^{\frac{2}{3} + 6} v ^{2}}

2^{6 + \frac{2}{3}} = 2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}}

2^{6 + \frac{2}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Encontrar el mínimo común múltiplo de

2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}, 8 : 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}, 8

Mínimo común múltiplo (MCM)

Mínimo común múltiplo de

64, 8 : 64

64, 8

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

64 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

64

64

divida por

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

8 : 2 \cdot 2 \cdot 2

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

64

8

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64

= 64

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

8

= 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multiplicar por el mínimo común múltiplo=

64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} - v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Simplificar

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} - v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Simplificar

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} : 3

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 64 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3 \cdot 64 v ^{2}}{2 ^{6} v ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

v^{2}

= \frac{3 \cdot 64}{2 ^{6}}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 64 = 192

= \frac{192}{2 ^{6}}

Factorizar

192 : 2^{6} \cdot 3

Factorizar

192 = 2^{6} \cdot 3

= \frac{2 ^{6} \cdot 3}{2 ^{6}}

Eliminar los terminos comunes:

2^{6}

= 3

Simplificar

- v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} : - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4}

- v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

v^{2} v^{2} = v^{2 + 2}

= - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2 + 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4}

Simplificar

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}{8}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = 64 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}

= 64 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} v^{2}

Sumar elementos similares:

\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{2}{3}

= 64 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

= - \frac{64 \cdot 2 ^{2 \cdot \frac{2}{3}} v ^{2}}{8}

Dividir:

\frac{64}{8} = 8

= - 8 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

2^{2 \cdot \frac{2}{3}}

Multiplicar

2 \cdot \frac{2}{3} : \frac{4}{3}

2 \cdot \frac{2}{3}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 \cdot 2}{3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{3}

= 2^{\frac{4}{3}}

2^{\frac{4}{3}} = 2^{1 + \frac{1}{3}}

= 2^{1 + \frac{1}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Simplificar

Multiplicar los numeros:

8 \cdot 2 = 16

Resolver

Desplace

a la izquierda

Sumar

a ambos lados

Simplificar

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

Encontrar una solución para

- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3 = 0

utilizando el método de Newton-Raphson:

v \approx 0.54556 \dots

- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3 = 0

Definición del método de Newton-Raphson

f (v) = - 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3

Hallar

f^{^{'}} (v) : - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3)

Aplicar la regla de la suma/diferencia:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4}) + \frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2}) + \frac{d}{d v} (3)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4}) = 406.37466 \dots v^{3}

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4})

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{4})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 4 v^{4 - 1}

Simplificar

= 406.37466 \dots v^{3}

\frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2}) = 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2})

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 20.15873 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 20.15873 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Simplificar

= 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (3) = 0

\frac{d}{d v} (3)

Derivada de una constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v + 0

Simplificar

= - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v

Sea

v_{0} = 1

Calcular

v_{n + 1}

hasta que

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = 0.78573 \dots : Δ v_{1} = 0.21426 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots \cdot 1^{4} + 20.15873 \dots \cdot 1^{2} + 3 = - 78.43493 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 406.37466 \dots \cdot 1^{3} + 40.31747 \dots \cdot 1 = - 366.05719 \dots

v_{1} = 0.78573 \dots

Δ v_{1} = ∣ 0.78573 \dots - 1 ∣ = 0.21426 \dots

Δ v_{1} = 0.21426 \dots

v_{2} = 0.64504 \dots : Δ v_{2} = 0.14068 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.78573 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.78573 \dots^{2} + 3 = - 23.27682 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.78573 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.78573 \dots = - 165.44887 \dots

v_{2} = 0.64504 \dots

Δ v_{2} = ∣ 0.64504 \dots - 0.78573 \dots ∣ = 0.14068 \dots

Δ v_{2} = 0.14068 \dots

v_{3} = 0.57039 \dots : Δ v_{3} = 0.07465 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.64504 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.64504 \dots^{2} + 3 = - 6.20040 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.64504 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.64504 \dots = - 83.05958 \dots

v_{3} = 0.57039 \dots

Δ v_{3} = ∣ 0.57039 \dots - 0.64504 \dots ∣ = 0.07465 \dots

Δ v_{3} = 0.07465 \dots

v_{4} = 0.54759 \dots : Δ v_{4} = 0.02280 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.57039 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.57039 \dots^{2} + 3 = - 1.19513 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.57039 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.57039 \dots = - 52.41610 \dots

v_{4} = 0.54759 \dots

Δ v_{4} = ∣ 0.54759 \dots - 0.57039 \dots ∣ = 0.02280 \dots

Δ v_{4} = 0.02280 \dots

v_{5} = 0.54557 \dots : Δ v_{5} = 0.00201 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54759 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54759 \dots^{2} + 3 = - 0.08990 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54759 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54759 \dots = - 44.64836 \dots

v_{5} = 0.54557 \dots

Δ v_{5} = ∣ 0.54557 \dots - 0.54759 \dots ∣ = 0.00201 \dots

Δ v_{5} = 0.00201 \dots

v_{6} = 0.54556 \dots : Δ v_{6} = 0.00001 \dots

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54557 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54557 \dots^{2} + 3 = - 0.00065 \dots

f^{^{'}} (v_{5}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54557 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54557 \dots = - 43.99616 \dots

v_{6} = 0.54556 \dots

Δ v_{6} = ∣ 0.54556 \dots - 0.54557 \dots ∣ = 0.00001 \dots

Δ v_{6} = 0.00001 \dots

v_{7} = 0.54556 \dots : Δ v_{7} = 8.18838 E - 10

f (v_{6}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54556 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54556 \dots^{2} + 3 = - 3.60218 E - 8

f^{^{'}} (v_{6}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54556 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54556 \dots = - 43.99134 \dots

v_{7} = 0.54556 \dots

Δ v_{7} = ∣ 0.54556 \dots - 0.54556 \dots ∣ = 8.18838 E - 10

Δ v_{7} = 8.18838 E - 10

v \approx 0.54556 \dots

Aplicar la división larga

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots \approx 0

Encontrar una solución para

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots = 0

utilizando el método de Newton-Raphson:

v \approx - 0.54556 \dots

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots = 0

Definición del método de Newton-Raphson

f (v) = - 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots

Hallar

f^{^{'}} (v) : - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots)

Aplicar la regla de la suma/diferencia:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3}) - \frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2}) - \frac{d}{d v} (10.07936 \dots v) - \frac{d}{d v} (5.49891 \dots)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3}) = 304.78100 \dots v^{2}

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3})

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{3})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 3 v^{3 - 1}

Simplificar

= 304.78100 \dots v^{2}

\frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2}) = 110.85125 \dots v

\frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2})

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 55.42562 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 55.42562 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Simplificar

= 110.85125 \dots v

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots v) = 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots v)

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 10.07936 \dots \frac{d v}{d v}

Aplicar la regla de derivación:

\frac{d v}{d v} = 1

= 10.07936 \dots \cdot 1

Simplificar

= 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (5.49891 \dots) = 0

\frac{d}{d v} (5.49891 \dots)

Derivada de una constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots - 0

Simplificar

= - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots

Sea

v_{0} = - 1

Calcular

v_{n + 1}

hasta que

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = - 0.75124 \dots : Δ v_{1} = 0.24875 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots (- 1)^{3} - 55.42562 \dots (- 1)^{2} - 10.07936 \dots (- 1) - 5.49891 \dots = 50.74849 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 304.78100 \dots (- 1)^{2} - 110.85125 \dots (- 1) - 10.07936 \dots = - 204.00911 \dots

v_{1} = - 0.75124 \dots

Δ v_{1} = ∣ - 0.75124 \dots - (- 1) ∣ = 0.24875 \dots

Δ v_{1} = 0.24875 \dots

v_{2} = - 0.61091 \dots : Δ v_{2} = 0.14032 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots (- 0.75124 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.75124 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.75124 \dots) - 5.49891 \dots = 13.86617 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 304.78100 \dots (- 0.75124 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.75124 \dots) - 10.07936 \dots = - 98.81153 \dots

v_{2} = - 0.61091 \dots

Δ v_{2} = ∣ - 0.61091 \dots - (- 0.75124 \dots) ∣ = 0.14032 \dots

Δ v_{2} = 0.14032 \dots

v_{3} = - 0.55501 \dots : Δ v_{3} = 0.05590 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots (- 0.61091 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.61091 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.61091 \dots) - 5.49891 \dots = 3.13665 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 304.78100 \dots (- 0.61091 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.61091 \dots) - 10.07936 \dots = - 56.10803 \dots

v_{3} = - 0.55501 \dots

Δ v_{3} = ∣ - 0.55501 \dots - (- 0.61091 \dots) ∣ = 0.05590 \dots

Δ v_{3} = 0.05590 \dots

v_{4} = - 0.54579 \dots : Δ v_{4} = 0.00921 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots (- 0.55501 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.55501 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.55501 \dots) - 5.49891 \dots = 0.39093 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 304.78100 \dots (- 0.55501 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.55501 \dots) - 10.07936 \dots = - 42.43951 \dots

v_{4} = - 0.54579 \dots

Δ v_{4} = ∣ - 0.54579 \dots - (- 0.55501 \dots) ∣ = 0.00921 \dots

Δ v_{4} = 0.00921 \dots

v_{5} = - 0.54556 \dots : Δ v_{5} = 0.00023 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots (- 0.54579 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.54579 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.54579 \dots) - 5.49891 \dots = 0.00957 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 304.78100 \dots (- 0.54579 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.54579 \dots) - 10.07936 \dots = - 40.37008 \dots

v_{5} = - 0.54556 \dots

Δ v_{5} = ∣ - 0.54556 \dots - (- 0.54579 \dots) ∣ = 0.00023 \dots

Δ v_{5} = 0.00023 \dots

v_{6} = - 0.54556 \dots : Δ v_{6} = 1.54611 E - 7

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots (- 0.54556 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.54556 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.54556 \dots) - 5.49891 \dots = 6.23352 E - 6

f^{^{'}} (v_{5}) = - 304.78100 \dots (- 0.54556 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.54556 \dots) - 10.07936 \dots = - 40.31750 \dots

v_{6} = - 0.54556 \dots

Δ v_{6} = ∣ - 0.54556 \dots - (- 0.54556 \dots) ∣ = 1.54611 E - 7

Δ v_{6} = 1.54611 E - 7

v \approx - 0.54556 \dots

Aplicar la división larga

Eq u a t i o n 0 : \frac{- 101.59366 \dots v ^{3} - 55.42562 \dots v ^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots}{v + 0.54556 \dots} = - 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots \approx 0

Encontrar una solución para

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots = 0

utilizando el método de Newton-Raphson:

Sin solución para

v \in R

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots = 0

Definición del método de Newton-Raphson

f (v) = - 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots

Hallar

f^{^{'}} (v) : - 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots)

Aplicar la regla de la suma/diferencia:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2}) - \frac{d}{d v} (10.07936 \dots)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2}) = 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2})

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Simplificar

= 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots) = 0

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots)

Derivada de una constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 203.18733 \dots v - 0

Simplificar

= - 203.18733 \dots v

Sea

v_{0} = - 1

Calcular

v_{n + 1}

hasta que

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = - 0.45039 \dots : Δ v_{1} = 0.54960 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots (- 1)^{2} - 10.07936 \dots = - 111.67303 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 203.18733 \dots (- 1) = 203.18733 \dots

v_{1} = - 0.45039 \dots

Δ v_{1} = ∣ - 0.45039 \dots - (- 1) ∣ = 0.54960 \dots

Δ v_{1} = 0.54960 \dots

v_{2} = - 0.11505 \dots : Δ v_{2} = 0.33533 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots (- 0.45039 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 30.68810 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 203.18733 \dots (- 0.45039 \dots) = 91.51429 \dots

v_{2} = - 0.11505 \dots

Δ v_{2} = ∣ - 0.11505 \dots - (- 0.45039 \dots) ∣ = 0.33533 \dots

Δ v_{2} = 0.33533 \dots

v_{3} = 0.37361 \dots : Δ v_{3} = 0.48867 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots (- 0.11505 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 11.42427 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 203.18733 \dots (- 0.11505 \dots) = 23.37813 \dots

v_{3} = 0.37361 \dots

Δ v_{3} = ∣ 0.37361 \dots - (- 0.11505 \dots) ∣ = 0.48867 \dots

Δ v_{3} = 0.48867 \dots

v_{4} = 0.05403 \dots : Δ v_{4} = 0.31958 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.37361 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 24.26076 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.37361 \dots = - 75.91416 \dots

v_{4} = 0.05403 \dots

Δ v_{4} = ∣ 0.05403 \dots - 0.37361 \dots ∣ = 0.31958 \dots

Δ v_{4} = 0.31958 \dots

v_{5} = - 0.89102 \dots : Δ v_{5} = 0.94505 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.05403 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 10.37600 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.05403 \dots = - 10.97924 \dots

v_{5} = - 0.89102 \dots

Δ v_{5} = ∣ - 0.89102 \dots - 0.05403 \dots ∣ = 0.94505 \dots

Δ v_{5} = 0.94505 \dots

v_{6} = - 0.38983 \dots : Δ v_{6} = 0.50118 \dots

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots (- 0.89102 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 90.73642 \dots

f^{^{'}} (v_{5}) = - 203.18733 \dots (- 0.89102 \dots) = 181.04414 \dots

v_{6} = - 0.38983 \dots

Δ v_{6} = ∣ - 0.38983 \dots - (- 0.89102 \dots) ∣ = 0.50118 \dots

Δ v_{6} = 0.50118 \dots

v_{7} = - 0.06766 \dots : Δ v_{7} = 0.32216 \dots

f (v_{6}) = - 101.59366 \dots (- 0.38983 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 25.51884 \dots

f^{^{'}} (v_{6}) = - 203.18733 \dots (- 0.38983 \dots) = 79.20991 \dots

v_{7} = - 0.06766 \dots

Δ v_{7} = ∣ - 0.06766 \dots - (- 0.38983 \dots) ∣ = 0.32216 \dots

Δ v_{7} = 0.32216 \dots

v_{8} = 0.69923 \dots : Δ v_{8} = 0.76690 \dots

f (v_{7}) = - 101.59366 \dots (- 0.06766 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 10.54458 \dots

f^{^{'}} (v_{7}) = - 203.18733 \dots (- 0.06766 \dots) = 13.74960 \dots

v_{8} = 0.69923 \dots

Δ v_{8} = ∣ 0.69923 \dots - (- 0.06766 \dots) ∣ = 0.76690 \dots

Δ v_{8} = 0.76690 \dots

v_{9} = 0.27867 \dots : Δ v_{9} = 0.42055 \dots

f (v_{8}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.69923 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 59.75094 \dots

f^{^{'}} (v_{8}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.69923 \dots = - 142.07487 \dots

v_{9} = 0.27867 \dots

Δ v_{9} = ∣ 0.27867 \dots - 0.69923 \dots ∣ = 0.42055 \dots

Δ v_{9} = 0.42055 \dots

v_{10} = - 0.03867 \dots : Δ v_{10} = 0.31734 \dots

f (v_{9}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.27867 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 17.96890 \dots

f^{^{'}} (v_{9}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.27867 \dots = - 56.62250 \dots

v_{10} = - 0.03867 \dots

Δ v_{10} = ∣ - 0.03867 \dots - 0.27867 \dots ∣ = 0.31734 \dots

Δ v_{10} = 0.31734 \dots

v_{11} = 1.26333 \dots : Δ v_{11} = 1.30200 \dots

f (v_{10}) = - 101.59366 \dots (- 0.03867 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 10.23132 \dots

f^{^{'}} (v_{10}) = - 203.18733 \dots (- 0.03867 \dots) = 7.85811 \dots

v_{11} = 1.26333 \dots

Δ v_{11} = ∣ 1.26333 \dots - (- 0.03867 \dots) ∣ = 1.30200 \dots

Δ v_{11} = 1.30200 \dots

No se puede encontrar solución

Las soluciones son

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

v = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2}

y comparar con cero

Resolver

2^{\frac{10}{3}} v = 0 : v = 0

2^{\frac{10}{3}} v = 0

Dividir ambos lados entre

2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{10}{3}} v = 0

Dividir ambos lados entre

2^{\frac{10}{3}}

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} = \frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} = \frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} : v

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Eliminar los terminos comunes:

2^{\frac{10}{3}}

= v

Simplificar

\frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}} : 0

\frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0

a \neq = 0

= 0

v = 0

v = 0

v = 0

Los siguientes puntos no están definidos

v = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Sustituir las soluciones

v = 0.54556 \dots, v = - 0.54556 \dots

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

Para

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, sustituir

v

con

Para

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, sustituir

v

con

0.54556 \dots

2 u \cdot 0.54556 \dots = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Resolver

2 u \cdot 0.54556 \dots = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Descomponer el número en factores primos:

8 = 2^{3}

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Convertir a fracción:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Restar:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 u \cdot 0.54556 \dots = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 \cdot 0.54556 \dots

2 u \cdot 0.54556 \dots = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 \cdot 0.54556 \dots

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Simplificar

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Simplificar

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} : u

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{u \cdot 0.54556 \dots}{0.54556 \dots}

Eliminar los terminos comunes:

0.54556 \dots

= u

Simplificar

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 0.54556 \dots = 1.09112 \dots

= \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

2^{\frac{7}{3}}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2 + \frac{1}{3}}

= 2^{2 + \frac{1}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Simplificar

Para

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, sustituir

v

con

Para

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, sustituir

v

con

- 0.54556 \dots

2 u (- 0.54556 \dots) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Resolver

2 u (- 0.54556 \dots) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Descomponer el número en factores primos:

8 = 2^{3}

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Convertir a fracción:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Restar:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 u (- 0.54556 \dots) = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 (- 0.54556 \dots)

2 u (- 0.54556 \dots) = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 (- 0.54556 \dots)

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Simplificar

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Simplificar

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} : u

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Multiplicar los numeros:

2 (- 0.54556 \dots) = - 1.09112 \dots

= \frac{- 1.09112 \dots u}{- 1.09112 \dots}

Eliminar los terminos comunes:

- 1.09112 \dots

= u

Simplificar

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{- 2 \cdot 0.54556 \dots}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 0.54556 \dots = 1.09112 \dots

= \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{- 1.09112 \dots}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots} = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

2^{\frac{7}{3}}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2 + \frac{1}{3}}

= 2^{2 + \frac{1}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Simplificar

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

Eq u a t i o n 0

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

Verdadero

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Sustituir

Simplificar

Verdadero

Verificar la solución

Verdadero

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Sustituir

Simplificar

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

Verdadero

2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Sustituir

Simplificar

\frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 0.54556 \dots}{4.36449 \dots} = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Verdadero

Verificar la solución

Verdadero

2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Sustituir

Simplificar

\frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 0.54556 \dots}{4.36449 \dots} = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Verdadero

Por lo tanto, las soluciones finales para

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}, 2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

son

Sustituir en la ecuación

w = u + v i

Resolver

Sustituir

w = u + v i

Desarrollar

(u + v i)^{2} : (u^{2} - v^{2}) + 2 i uv

(u + v i)^{2}

= (u + i v)^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = u, b = v i

= u^{2} + 2 uv i + (v i)^{2}

(v i)^{2} = - v^{2}

(v i)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} v^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) v^{2}

Simplificar

= - v^{2}

= u^{2} + 2 i uv - v^{2}

Reescribir

u^{2} + 2 i uv - v^{2}

en la forma binómica:

(u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

u^{2} + 2 i uv - v^{2}

Agrupar la parte real y la parte imaginaria del número complejo

= (u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

= (u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

Desarrollar

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

Descomposición en factores primos de

16 : 2^{4}

16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

Aplicar las leyes de los exponentes:

Aplicar la regla

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

1 \cdot (- 1 - 3 i) = - 1 - 3 i

1 \cdot (- 1 - 3 i)

Multiplicar:

1 \cdot (- 1 - 3 i) = (- 1 - 3 i)

= (- 1 - 3 i)

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= - 1 - 3 i

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

Reescribir

en la forma binómica:

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

= 4 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

1

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Sumar:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Aplicar la regla

a^{1} = a

= 2

= 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

1 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

= 4 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

1

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Sumar:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Aplicar la regla

a^{1} = a

= 2

= 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

(u^{2} - v^{2}) + 2 i uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} - i \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

(u^{2} - v^{2}) + 2 i uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} - i \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Un conjunto de números complejos solo pueden ser iguales si su partes real e imaginaria son iguales.Reescribir como un sistema de ecuaciones:

[u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} 2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}]

[u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} 2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}]

Despejar

u

para

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8} : u = - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Simplificar

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Descomponer el número en factores primos:

8 = 2^{3}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Convertir a fracción:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Restar:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 uv = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 v

2 uv = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 v

\frac{2 uv}{2 v} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Simplificar

\frac{2 uv}{2 v} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Simplificar

\frac{2 uv}{2 v} : u

\frac{2 uv}{2 v}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{uv}{v}

Eliminar los terminos comunes:

v

= u

Simplificar

\frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v} : - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

\frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b \cdot c}

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v} = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 2 v}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 2 v}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2 = 2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2 = 2^{\frac{7}{3} + 1}

= 2^{\frac{7}{3} + 1}

\frac{7}{3} + 1 = \frac{10}{3}

\frac{7}{3} + 1

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 3}{3}

= \frac{7}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{7 + 1 \cdot 3}{3}

7 + 1 \cdot 3 = 10

7 + 1 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= 7 + 3

Sumar:

7 + 3 = 10

= 10

= \frac{10}{3}

= 2^{\frac{10}{3}}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

Sustituir las soluciones

u = - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Para

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

, sustituir

u

con

- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v} : v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Para

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

, sustituir

u

con

- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Resolver

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} : v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Multiplicar por el mínimo común múltiplo

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Simplificar

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} : \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2}

\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{10}{3}} = 2^{3 + \frac{1}{3}}

= 2^{3 + \frac{1}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{3} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Simplificar

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(3)^{2} : 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 3

(2^{3})^{2} : 2^{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= 2^{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

= (2^{\frac{1}{3}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= 2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = 2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{6 + \frac{2}{3}}

= 2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}

= \frac{3}{2 ^{\frac{2}{3} + 6} v ^{2}}

2^{6 + \frac{2}{3}} = 2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}}

2^{6 + \frac{2}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Encontrar el mínimo común múltiplo de

2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}, 8 : 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}, 8

Mínimo común múltiplo (MCM)

Mínimo común múltiplo de

64, 8 : 64

64, 8

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

64 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

64

64

divida por

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

8 : 2 \cdot 2 \cdot 2

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

64

8

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64

= 64

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

8

= 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multiplicar por el mínimo común múltiplo=

64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} - v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Simplificar

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} - v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Simplificar

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} : 3

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 64 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3 \cdot 64 v ^{2}}{2 ^{6} v ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

v^{2}

= \frac{3 \cdot 64}{2 ^{6}}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 64 = 192

= \frac{192}{2 ^{6}}

Factorizar

192 : 2^{6} \cdot 3

Factorizar

192 = 2^{6} \cdot 3

= \frac{2 ^{6} \cdot 3}{2 ^{6}}

Eliminar los terminos comunes:

2^{6}

= 3

Simplificar

- v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} : - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4}

- v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

v^{2} v^{2} = v^{2 + 2}

= - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2 + 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4}

Simplificar

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}{8}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = 64 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}

= 64 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} v^{2}

Sumar elementos similares:

\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{2}{3}

= 64 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

= - \frac{64 \cdot 2 ^{2 \cdot \frac{2}{3}} v ^{2}}{8}

Dividir:

\frac{64}{8} = 8

= - 8 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

2^{2 \cdot \frac{2}{3}}

Multiplicar

2 \cdot \frac{2}{3} : \frac{4}{3}

2 \cdot \frac{2}{3}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 \cdot 2}{3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{3}

= 2^{\frac{4}{3}}

2^{\frac{4}{3}} = 2^{1 + \frac{1}{3}}

= 2^{1 + \frac{1}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Simplificar

Multiplicar los numeros:

8 \cdot 2 = 16

Resolver

Desplace

a la izquierda

Sumar

a ambos lados

Simplificar

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

Encontrar una solución para

- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3 = 0

utilizando el método de Newton-Raphson:

v \approx 0.54556 \dots

- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3 = 0

Definición del método de Newton-Raphson

f (v) = - 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3

Hallar

f^{^{'}} (v) : - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3)

Aplicar la regla de la suma/diferencia:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4}) + \frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2}) + \frac{d}{d v} (3)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4}) = 406.37466 \dots v^{3}

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4})

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{4})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 4 v^{4 - 1}

Simplificar

= 406.37466 \dots v^{3}

\frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2}) = 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2})

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 20.15873 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 20.15873 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Simplificar

= 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (3) = 0

\frac{d}{d v} (3)

Derivada de una constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v + 0

Simplificar

= - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v

Sea

v_{0} = 1

Calcular

v_{n + 1}

hasta que

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = 0.78573 \dots : Δ v_{1} = 0.21426 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots \cdot 1^{4} + 20.15873 \dots \cdot 1^{2} + 3 = - 78.43493 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 406.37466 \dots \cdot 1^{3} + 40.31747 \dots \cdot 1 = - 366.05719 \dots

v_{1} = 0.78573 \dots

Δ v_{1} = ∣ 0.78573 \dots - 1 ∣ = 0.21426 \dots

Δ v_{1} = 0.21426 \dots

v_{2} = 0.64504 \dots : Δ v_{2} = 0.14068 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.78573 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.78573 \dots^{2} + 3 = - 23.27682 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.78573 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.78573 \dots = - 165.44887 \dots

v_{2} = 0.64504 \dots

Δ v_{2} = ∣ 0.64504 \dots - 0.78573 \dots ∣ = 0.14068 \dots

Δ v_{2} = 0.14068 \dots

v_{3} = 0.57039 \dots : Δ v_{3} = 0.07465 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.64504 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.64504 \dots^{2} + 3 = - 6.20040 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.64504 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.64504 \dots = - 83.05958 \dots

v_{3} = 0.57039 \dots

Δ v_{3} = ∣ 0.57039 \dots - 0.64504 \dots ∣ = 0.07465 \dots

Δ v_{3} = 0.07465 \dots

v_{4} = 0.54759 \dots : Δ v_{4} = 0.02280 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.57039 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.57039 \dots^{2} + 3 = - 1.19513 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.57039 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.57039 \dots = - 52.41610 \dots

v_{4} = 0.54759 \dots

Δ v_{4} = ∣ 0.54759 \dots - 0.57039 \dots ∣ = 0.02280 \dots

Δ v_{4} = 0.02280 \dots

v_{5} = 0.54557 \dots : Δ v_{5} = 0.00201 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54759 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54759 \dots^{2} + 3 = - 0.08990 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54759 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54759 \dots = - 44.64836 \dots

v_{5} = 0.54557 \dots

Δ v_{5} = ∣ 0.54557 \dots - 0.54759 \dots ∣ = 0.00201 \dots

Δ v_{5} = 0.00201 \dots

v_{6} = 0.54556 \dots : Δ v_{6} = 0.00001 \dots

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54557 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54557 \dots^{2} + 3 = - 0.00065 \dots

f^{^{'}} (v_{5}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54557 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54557 \dots = - 43.99616 \dots

v_{6} = 0.54556 \dots

Δ v_{6} = ∣ 0.54556 \dots - 0.54557 \dots ∣ = 0.00001 \dots

Δ v_{6} = 0.00001 \dots

v_{7} = 0.54556 \dots : Δ v_{7} = 8.18838 E - 10

f (v_{6}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54556 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54556 \dots^{2} + 3 = - 3.60218 E - 8

f^{^{'}} (v_{6}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54556 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54556 \dots = - 43.99134 \dots

v_{7} = 0.54556 \dots

Δ v_{7} = ∣ 0.54556 \dots - 0.54556 \dots ∣ = 8.18838 E - 10

Δ v_{7} = 8.18838 E - 10

v \approx 0.54556 \dots

Aplicar la división larga

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots \approx 0

Encontrar una solución para

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots = 0

utilizando el método de Newton-Raphson:

v \approx - 0.54556 \dots

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots = 0

Definición del método de Newton-Raphson

f (v) = - 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots

Hallar

f^{^{'}} (v) : - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots)

Aplicar la regla de la suma/diferencia:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3}) - \frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2}) - \frac{d}{d v} (10.07936 \dots v) - \frac{d}{d v} (5.49891 \dots)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3}) = 304.78100 \dots v^{2}

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3})

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{3})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 3 v^{3 - 1}

Simplificar

= 304.78100 \dots v^{2}

\frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2}) = 110.85125 \dots v

\frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2})

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 55.42562 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 55.42562 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Simplificar

= 110.85125 \dots v

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots v) = 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots v)

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 10.07936 \dots \frac{d v}{d v}

Aplicar la regla de derivación:

\frac{d v}{d v} = 1

= 10.07936 \dots \cdot 1

Simplificar

= 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (5.49891 \dots) = 0

\frac{d}{d v} (5.49891 \dots)

Derivada de una constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots - 0

Simplificar

= - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots

Sea

v_{0} = - 1

Calcular

v_{n + 1}

hasta que

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = - 0.75124 \dots : Δ v_{1} = 0.24875 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots (- 1)^{3} - 55.42562 \dots (- 1)^{2} - 10.07936 \dots (- 1) - 5.49891 \dots = 50.74849 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 304.78100 \dots (- 1)^{2} - 110.85125 \dots (- 1) - 10.07936 \dots = - 204.00911 \dots

v_{1} = - 0.75124 \dots

Δ v_{1} = ∣ - 0.75124 \dots - (- 1) ∣ = 0.24875 \dots

Δ v_{1} = 0.24875 \dots

v_{2} = - 0.61091 \dots : Δ v_{2} = 0.14032 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots (- 0.75124 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.75124 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.75124 \dots) - 5.49891 \dots = 13.86617 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 304.78100 \dots (- 0.75124 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.75124 \dots) - 10.07936 \dots = - 98.81153 \dots

v_{2} = - 0.61091 \dots

Δ v_{2} = ∣ - 0.61091 \dots - (- 0.75124 \dots) ∣ = 0.14032 \dots

Δ v_{2} = 0.14032 \dots

v_{3} = - 0.55501 \dots : Δ v_{3} = 0.05590 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots (- 0.61091 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.61091 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.61091 \dots) - 5.49891 \dots = 3.13665 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 304.78100 \dots (- 0.61091 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.61091 \dots) - 10.07936 \dots = - 56.10803 \dots

v_{3} = - 0.55501 \dots

Δ v_{3} = ∣ - 0.55501 \dots - (- 0.61091 \dots) ∣ = 0.05590 \dots

Δ v_{3} = 0.05590 \dots

v_{4} = - 0.54579 \dots : Δ v_{4} = 0.00921 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots (- 0.55501 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.55501 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.55501 \dots) - 5.49891 \dots = 0.39093 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 304.78100 \dots (- 0.55501 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.55501 \dots) - 10.07936 \dots = - 42.43951 \dots

v_{4} = - 0.54579 \dots

Δ v_{4} = ∣ - 0.54579 \dots - (- 0.55501 \dots) ∣ = 0.00921 \dots

Δ v_{4} = 0.00921 \dots

v_{5} = - 0.54556 \dots : Δ v_{5} = 0.00023 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots (- 0.54579 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.54579 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.54579 \dots) - 5.49891 \dots = 0.00957 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 304.78100 \dots (- 0.54579 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.54579 \dots) - 10.07936 \dots = - 40.37008 \dots

v_{5} = - 0.54556 \dots

Δ v_{5} = ∣ - 0.54556 \dots - (- 0.54579 \dots) ∣ = 0.00023 \dots

Δ v_{5} = 0.00023 \dots

v_{6} = - 0.54556 \dots : Δ v_{6} = 1.54611 E - 7

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots (- 0.54556 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.54556 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.54556 \dots) - 5.49891 \dots = 6.23352 E - 6

f^{^{'}} (v_{5}) = - 304.78100 \dots (- 0.54556 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.54556 \dots) - 10.07936 \dots = - 40.31750 \dots

v_{6} = - 0.54556 \dots

Δ v_{6} = ∣ - 0.54556 \dots - (- 0.54556 \dots) ∣ = 1.54611 E - 7

Δ v_{6} = 1.54611 E - 7

v \approx - 0.54556 \dots

Aplicar la división larga

Eq u a t i o n 0 : \frac{- 101.59366 \dots v ^{3} - 55.42562 \dots v ^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots}{v + 0.54556 \dots} = - 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots \approx 0

Encontrar una solución para

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots = 0

utilizando el método de Newton-Raphson:

Sin solución para

v \in R

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots = 0

Definición del método de Newton-Raphson

f (v) = - 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots

Hallar

f^{^{'}} (v) : - 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots)

Aplicar la regla de la suma/diferencia:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2}) - \frac{d}{d v} (10.07936 \dots)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2}) = 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2})

Sacar la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Aplicar la regla de la potencia:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Simplificar

= 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots) = 0

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots)

Derivada de una constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 203.18733 \dots v - 0

Simplificar

= - 203.18733 \dots v

Sea

v_{0} = - 1

Calcular

v_{n + 1}

hasta que

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = - 0.45039 \dots : Δ v_{1} = 0.54960 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots (- 1)^{2} - 10.07936 \dots = - 111.67303 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 203.18733 \dots (- 1) = 203.18733 \dots

v_{1} = - 0.45039 \dots

Δ v_{1} = ∣ - 0.45039 \dots - (- 1) ∣ = 0.54960 \dots

Δ v_{1} = 0.54960 \dots

v_{2} = - 0.11505 \dots : Δ v_{2} = 0.33533 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots (- 0.45039 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 30.68810 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 203.18733 \dots (- 0.45039 \dots) = 91.51429 \dots

v_{2} = - 0.11505 \dots

Δ v_{2} = ∣ - 0.11505 \dots - (- 0.45039 \dots) ∣ = 0.33533 \dots

Δ v_{2} = 0.33533 \dots

v_{3} = 0.37361 \dots : Δ v_{3} = 0.48867 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots (- 0.11505 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 11.42427 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 203.18733 \dots (- 0.11505 \dots) = 23.37813 \dots

v_{3} = 0.37361 \dots

Δ v_{3} = ∣ 0.37361 \dots - (- 0.11505 \dots) ∣ = 0.48867 \dots

Δ v_{3} = 0.48867 \dots

v_{4} = 0.05403 \dots : Δ v_{4} = 0.31958 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.37361 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 24.26076 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.37361 \dots = - 75.91416 \dots

v_{4} = 0.05403 \dots

Δ v_{4} = ∣ 0.05403 \dots - 0.37361 \dots ∣ = 0.31958 \dots

Δ v_{4} = 0.31958 \dots

v_{5} = - 0.89102 \dots : Δ v_{5} = 0.94505 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.05403 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 10.37600 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.05403 \dots = - 10.97924 \dots

v_{5} = - 0.89102 \dots

Δ v_{5} = ∣ - 0.89102 \dots - 0.05403 \dots ∣ = 0.94505 \dots

Δ v_{5} = 0.94505 \dots

v_{6} = - 0.38983 \dots : Δ v_{6} = 0.50118 \dots

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots (- 0.89102 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 90.73642 \dots

f^{^{'}} (v_{5}) = - 203.18733 \dots (- 0.89102 \dots) = 181.04414 \dots

v_{6} = - 0.38983 \dots

Δ v_{6} = ∣ - 0.38983 \dots - (- 0.89102 \dots) ∣ = 0.50118 \dots

Δ v_{6} = 0.50118 \dots

v_{7} = - 0.06766 \dots : Δ v_{7} = 0.32216 \dots

f (v_{6}) = - 101.59366 \dots (- 0.38983 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 25.51884 \dots

f^{^{'}} (v_{6}) = - 203.18733 \dots (- 0.38983 \dots) = 79.20991 \dots

v_{7} = - 0.06766 \dots

Δ v_{7} = ∣ - 0.06766 \dots - (- 0.38983 \dots) ∣ = 0.32216 \dots

Δ v_{7} = 0.32216 \dots

v_{8} = 0.69923 \dots : Δ v_{8} = 0.76690 \dots

f (v_{7}) = - 101.59366 \dots (- 0.06766 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 10.54458 \dots

f^{^{'}} (v_{7}) = - 203.18733 \dots (- 0.06766 \dots) = 13.74960 \dots

v_{8} = 0.69923 \dots

Δ v_{8} = ∣ 0.69923 \dots - (- 0.06766 \dots) ∣ = 0.76690 \dots

Δ v_{8} = 0.76690 \dots

v_{9} = 0.27867 \dots : Δ v_{9} = 0.42055 \dots

f (v_{8}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.69923 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 59.75094 \dots

f^{^{'}} (v_{8}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.69923 \dots = - 142.07487 \dots

v_{9} = 0.27867 \dots

Δ v_{9} = ∣ 0.27867 \dots - 0.69923 \dots ∣ = 0.42055 \dots

Δ v_{9} = 0.42055 \dots

v_{10} = - 0.03867 \dots : Δ v_{10} = 0.31734 \dots

f (v_{9}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.27867 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 17.96890 \dots

f^{^{'}} (v_{9}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.27867 \dots = - 56.62250 \dots

v_{10} = - 0.03867 \dots

Δ v_{10} = ∣ - 0.03867 \dots - 0.27867 \dots ∣ = 0.31734 \dots

Δ v_{10} = 0.31734 \dots

v_{11} = 1.26333 \dots : Δ v_{11} = 1.30200 \dots

f (v_{10}) = - 101.59366 \dots (- 0.03867 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 10.23132 \dots

f^{^{'}} (v_{10}) = - 203.18733 \dots (- 0.03867 \dots) = 7.85811 \dots

v_{11} = 1.26333 \dots

Δ v_{11} = ∣ 1.26333 \dots - (- 0.03867 \dots) ∣ = 1.30200 \dots

Δ v_{11} = 1.30200 \dots

No se puede encontrar solución

Las soluciones son

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

v = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2}

y comparar con cero

Resolver

2^{\frac{10}{3}} v = 0 : v = 0

2^{\frac{10}{3}} v = 0

Dividir ambos lados entre

2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{10}{3}} v = 0

Dividir ambos lados entre

2^{\frac{10}{3}}

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} = \frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} = \frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} : v

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Eliminar los terminos comunes:

2^{\frac{10}{3}}

= v

Simplificar

\frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}} : 0

\frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0

a \neq = 0

= 0

v = 0

v = 0

v = 0

Los siguientes puntos no están definidos

v = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Sustituir las soluciones

v = 0.54556 \dots, v = - 0.54556 \dots

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

Para

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, sustituir

v

con

Para

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, sustituir

v

con

0.54556 \dots

2 u \cdot 0.54556 \dots = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Resolver

2 u \cdot 0.54556 \dots = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Simplificar

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Descomponer el número en factores primos:

8 = 2^{3}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Convertir a fracción:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Restar:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 u \cdot 0.54556 \dots = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 \cdot 0.54556 \dots

2 u \cdot 0.54556 \dots = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 \cdot 0.54556 \dots

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Simplificar

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Simplificar

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} : u

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{u \cdot 0.54556 \dots}{0.54556 \dots}

Eliminar los terminos comunes:

0.54556 \dots

= u

Simplificar

\frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 0.54556 \dots = 1.09112 \dots

= \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots} = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

2^{\frac{7}{3}}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2 + \frac{1}{3}}

= 2^{2 + \frac{1}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Simplificar

Para

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, sustituir

v

con

Para

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, sustituir

v

con

- 0.54556 \dots

2 u (- 0.54556 \dots) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Resolver

2 u (- 0.54556 \dots) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Simplificar

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Descomponer el número en factores primos:

8 = 2^{3}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Simplificar

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Convertir a fracción:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Restar:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 u (- 0.54556 \dots) = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 (- 0.54556 \dots)

2 u (- 0.54556 \dots) = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Dividir ambos lados entre

2 (- 0.54556 \dots)

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Simplificar

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Simplificar

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} : u

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Multiplicar los numeros:

2 (- 0.54556 \dots) = - 1.09112 \dots

= \frac{- 1.09112 \dots u}{- 1.09112 \dots}

Eliminar los terminos comunes:

- 1.09112 \dots

= u

Simplificar

\frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{- 2 \cdot 0.54556 \dots}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 0.54556 \dots = 1.09112 \dots

= \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{- 1.09112 \dots}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

2^{\frac{7}{3}}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2 + \frac{1}{3}}

= 2^{2 + \frac{1}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Simplificar

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

Eq u a t i o n 0

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

Verdadero

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Sustituir

Simplificar

Verdadero

Verificar la solución

Verdadero

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Sustituir

Simplificar

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

Verdadero

2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Sustituir

Simplificar

- \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 0.54556 \dots}{4.36449 \dots} = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Verdadero

Verificar la solución

Verdadero

2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Sustituir

Simplificar

- \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 0.54556 \dots}{4.36449 \dots} = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Verdadero

Por lo tanto, las soluciones finales para

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}, 2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

son

Sustituir en la ecuación

w = u + v i

Las soluciones son

Sustituir en la ecuación

w = cos (x)

cos (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} : x = arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} : x = arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

Sin solución

Simplificar

2^{2} = 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1.09112 \dots = 4.36449 \dots

Multiplicar por el conjugado

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

= 4.36449 \dots \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

1

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Sumar:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Aplicar la regla

a^{1} = a

= 2

= 2 \cdot 4.36449 \dots

Multiplicar los numeros:

4.36449 \dots \cdot 2 = 8.72898 \dots

= 8.72898 \dots

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} + 0.54556 \dots i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Sin solución

Simplificar

2^{2} = 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1.09112 \dots = 4.36449 \dots

Multiplicar por el conjugado

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

= 4.36449 \dots \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

1

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Sumar:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Aplicar la regla

a^{1} = a

= 2

= 2 \cdot 4.36449 \dots

Multiplicar los numeros:

4.36449 \dots \cdot 2 = 8.72898 \dots

= 8.72898 \dots

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

= - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} - 0.54556 \dots i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Sin solución

Simplificar

2^{2} = 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1.09112 \dots = 4.36449 \dots

Multiplicar por el conjugado

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

= 4.36449 \dots \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

1

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Sumar:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Aplicar la regla

a^{1} = a

= 2

= 2 \cdot 4.36449 \dots

Multiplicar los numeros:

4.36449 \dots \cdot 2 = 8.72898 \dots

= 8.72898 \dots

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

= - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} + 0.54556 \dots i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Sin solución

Simplificar

2^{2} = 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1.09112 \dots = 4.36449 \dots

Multiplicar por el conjugado

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

= 4.36449 \dots \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

1

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Sumar:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Aplicar la regla

a^{1} = a

= 2

= 2 \cdot 4.36449 \dots

Multiplicar los numeros:

4.36449 \dots \cdot 2 = 8.72898 \dots

= 8.72898 \dots

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} - 0.54556 \dots i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.88929 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.88929 \dots + 2 πn, x = 2.25229 \dots + 2 πn, x = - 2.25229 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

solvefor w,s(t)=Ae^{-ct}cos(wt+θ)

sqrt(2)=2sin(x)

6sin(pi/4 x)=3

sec(x)=3,(3pi)/2 <= x<= 2pi,sin(2x)

2+8cos(θ)=-1+2cos(θ)