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Beliebt Trigonometrie >

2cos(x)-1=2cos(2x)

Lösung

2 cos (x) - 1 = 2 cos (2 x)

Lösung

x = 1.88495 \dots + 2 πn, x = - 1.88495 \dots + 2 πn, x = 0.62831 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.62831 \dots + 2 πn

Grad

x = 10 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 10 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 3 6^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 32 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (x) - 1 = 2 cos (2 x)

Subtrahiere

2 cos (2 x)

von beiden Seiten

2 cos (x) - 1 - 2 cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - 2 cos (2 x) + 2 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 - 2 (2 cos^{2} (x) - 1) + 2 cos (x)

Vereinfache

- 1 - 2 (2 cos^{2} (x) - 1) + 2 cos (x) : 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

- 1 - 2 (2 cos^{2} (x) - 1) + 2 cos (x)

Multipliziere aus

- 2 (2 cos^{2} (x) - 1) : - 4 cos^{2} (x) + 2

- 2 (2 cos^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= - 2 \cdot 2 cos^{2} (x) - (- 2) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 2 cos^{2} (x) + 2 \cdot 1

Vereinfache

- 2 \cdot 2 cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 : - 4 cos^{2} (x) + 2

- 2 \cdot 2 cos^{2} (x) + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - 4 cos^{2} (x) + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 4 cos^{2} (x) + 2

= - 4 cos^{2} (x) + 2

= - 1 - 4 cos^{2} (x) + 2 + 2 cos (x)

Vereinfache

- 1 - 4 cos^{2} (x) + 2 + 2 cos (x) : 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

- 1 - 4 cos^{2} (x) + 2 + 2 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 1 + 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 2 = 1

= 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

= 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

= 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 1

1 + 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 + 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 + 2 u - 4 u^{2} = 0

1 + 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 5}{4}, u = \frac{1 + 5}{4}

1 + 2 u - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

2^{2} - 4 (- 4) \cdot 1 = 25

2^{2} - 4 (- 4) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Addiere die Zahlen:

4 + 16 = 20

= 20

Primfaktorzerlegung von

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 ( - 4 )} : - \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 5}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 5}{8}

Streiche

\frac{- 2 + 2 5}{8} : \frac{5 - 1}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{8}

Faktorisiere

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

= - \frac{5 - 1}{4}

= - \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 ( - 4 )} : \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 5}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 25 = - (2 + 25)

= \frac{2 + 2 5}{8}

Faktorisiere

2 + 25 : 2 (1 + 5)

2 + 25

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 5)

= \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 5}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 1 + 5}{4}, u = \frac{1 + 5}{4}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{4} : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 5}{4} : x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 5}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 + 5}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.88495 \dots + 2 πn, x = - 1.88495 \dots + 2 πn, x = 0.62831 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.62831 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5sec(x)-2=3cos(x)

5 sec (x) - 2 = 3 cos (x)

(sin(x))(cos(x))(tan(x))+cos(2x)=1

(sin (x)) (cos (x)) (tan (x)) + cos (2 x) = 1

tan(x)= 20/30

tan (x) = \frac{20}{30}

sin(x)=sin(27)

sin (x) = sin (2 7^{\circ})

cos(a)= 12/37

cos (a) = \frac{12}{37}