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Popular Trigonometría >

cos^2(x)+((1-sqrt(2))/2)cos(x)-(sqrt(2))/4 =0

Solución

cos^{2} (x) + (\frac{1 - 2}{2}) cos (x) - \frac{2}{4} = 0

Solución

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grados

x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos^{2} (x) + (\frac{1 - 2}{2}) cos (x) - \frac{2}{4} = 0

Usando el método de sustitución

cos^{2} (x) + \frac{1 - 2}{2} cos (x) - \frac{2}{4} = 0

Sea:

cos (x) = u

u^{2} + \frac{1 - 2}{2} u - \frac{2}{4} = 0

u^{2} + \frac{1 - 2}{2} u - \frac{2}{4} = 0 : u = \frac{2}{2}, u = - \frac{1}{2}

u^{2} + \frac{1 - 2}{2} u - \frac{2}{4} = 0

Encontrar el mínimo común múltiplo de

2, 4 : 4

2, 4

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

2

4

= 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Multiplicar por el mínimo común múltiplo=

4

u^{2} \cdot 4 + \frac{1 - 2}{2} u \cdot 4 - \frac{2}{4} \cdot 4 = 0 \cdot 4

Simplificar

4 u^{2} + 2 (1 - 2) u - 2 = 0

Desarrollar

4 u^{2} + 2 (1 - 2) u - 2 : 4 u^{2} + 2 u - 22 u - 2

4 u^{2} + 2 (1 - 2) u - 2

Expandir

2 u (1 - 2) : 2 u - 22 u

2 u (1 - 2)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 u, b = 1, c = 2

= 2 u \cdot 1 - 2 u 2

= 2 \cdot 1 \cdot u - 22 u

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 u - 22 u

= 4 u^{2} + 2 u - 22 u - 2

4 u^{2} + 2 u - 22 u - 2 = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + (2 - 22) u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} + (2 - 22) u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = 2 - 22, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( 2 - 2 2 ) \pm ( 2 - 2 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( 2 - 2 2 ) \pm ( 2 - 2 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(2 - 22)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 2 + 22

(2 - 22)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (2 - 22)^{2} + 4 \cdot 42

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 = 16

= (2 - 22)^{2} + 162

Expandir

(2 - 22)^{2} + 162 : 12 + 82

(2 - 22)^{2} + 162

(2 - 22)^{2} : 12 - 82

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 22

= 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 22 + (22)^{2}

Simplificar

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 22 + (22)^{2} : 12 - 82

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 22 + (22)^{2}

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

2 \cdot 2 \cdot 22 = 82

2 \cdot 2 \cdot 22

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

= 82

(22)^{2} = 8

(22)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 2

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{2} \cdot 2 = 2^{2 + 1}

= 2^{2 + 1}

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2^{3}

2^{3} = 8

= 8

= 4 - 82 + 8

Sumar:

4 + 8 = 12

= 12 - 82

= 12 - 82

= 12 - 82 + 162

Sumar elementos similares:

- 82 + 162 = 82

= 12 + 82

= 12 + 82

= 4 + 82 + 8

= 2 \cdot 2 + 82 + 8

= (2)^{2} (2)^{2} + 82 + (8)^{2}

8 = 22

8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

= (2)^{2} (2)^{2} + 82 + (22)^{2}

222 \cdot 22 = 82

222 \cdot 22

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4222

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 22

2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{3}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1 + 1}{2}

Sumar:

1 + 1 + 1 = 3

= \frac{3}{2}

= 2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Simplificar

= 22

= 4 \cdot 22

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 = 8

= 82

= (22)^{2} + 222 \cdot 22 + (22)^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(22)^{2} + 222 \cdot 22 + (22)^{2} = (22 + 22)^{2}

= (22 + 22)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(22 + 22)^{2} = 22 + 22

= 22 + 22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2 + 22

u_{1, 2} = \frac{- ( 2 - 2 2 ) \pm ( 2 + 2 2 )}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( 2 - 2 2 ) + 2 + 2 2}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( 2 - 2 2 ) - ( 2 + 2 2 )}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( 2 - 2 2 ) + 2 + 2 2}{2 \cdot 4} : \frac{2}{2}

\frac{- ( 2 - 2 2 ) + 2 + 2 2}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- ( 2 - 2 2 ) + 2 + 2 2}{8}

Expandir

- (2 - 22) + 2 + 22 : 42

- (2 - 22) + 2 + 22

- (2 - 22) : - 2 + 22

- (2 - 22)

Poner los parentesis

= - (2) - (- 22)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 + 22

= - 2 + 22 + 2 + 22

Simplificar

- 2 + 22 + 2 + 22 : 42

- 2 + 22 + 2 + 22

Sumar elementos similares:

22 + 22 = 42

= - 2 + 42 + 2

- 2 + 2 = 0

= 42

= 42

= \frac{4 2}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{2}{2}

u = \frac{- ( 2 - 2 2 ) - ( 2 + 2 2 )}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( 2 - 2 2 ) - ( 2 + 2 2 )}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- ( 2 - 2 2 ) - ( 2 + 2 2 )}{8}

Expandir

- (2 - 22) - (2 + 22) : - 4

- (2 - 22) - (2 + 22)

- (2 - 22) : - 2 + 22

- (2 - 22)

Poner los parentesis

= - (2) - (- 22)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 + 22

= - 2 + 22 - (2 + 22)

- (2 + 22) : - 2 - 22

- (2 + 22)

Poner los parentesis

= - (2) - (22)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 2 - 22

= - 2 + 22 - 2 - 22

Simplificar

- 2 + 22 - 2 - 22 : - 4

- 2 + 22 - 2 - 22

Sumar elementos similares:

22 - 22 = 0

= - 2 - 2

Restar:

- 2 - 2 = - 4

= - 4

= - 4

= \frac{- 4}{8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= - \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{2}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{2}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{2}{2} : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

cos (x) = \frac{2}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan^2(x/2)=-2

sin^2(θ)-1=2sin(θ)

-3sin^2(x)+2=0

16sin(3x)cos(x)+8sqrt(3)sin(3x)-2cos(x)-sqrt(3)=0

tan(C)=2.56