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Beliebt Trigonometrie >

(1+4cos(θ))^2=(sqrt(3)sin(θ))^2

Lösung

(1 + 4 cos (θ))^{2} = (3 sin (θ))^{2}

Lösung

θ = 1.39363 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39363 \dots + 2 πn, θ = 2.21091 \dots + 2 πn, θ = - 2.21091 \dots + 2 πn

Grad

θ = 79.84945 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 280.15054 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 126.67590 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 126.67590 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

(1 + 4 cos (θ))^{2} = (3 sin (θ))^{2}

Subtrahiere

(3 sin (θ))^{2}

von beiden Seiten

(1 + 4 cos (θ))^{2} - 3 sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + 4 cos (θ))^{2} - 3 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (1 + 4 cos (θ))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

(1 + 4 cos (θ))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (θ)) : 19 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 2

(1 + 4 cos (θ))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (θ))

(1 + 4 cos (θ))^{2} : 1 + 8 cos (θ) + 16 cos^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = 4 cos (θ)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 4 cos (θ) + (4 cos (θ))^{2}

Vereinfache

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 4 cos (θ) + (4 cos (θ))^{2} : 1 + 8 cos (θ) + 16 cos^{2} (θ)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 4 cos (θ) + (4 cos (θ))^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot 4 cos (θ) + (4 cos (θ))^{2}

2 \cdot 1 \cdot 4 cos (θ) = 8 cos (θ)

2 \cdot 1 \cdot 4 cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 \cdot 4 = 8

= 8 cos (θ)

(4 cos (θ))^{2} = 16 cos^{2} (θ)

(4 cos (θ))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} cos^{2} (θ)

4^{2} = 16

= 16 cos^{2} (θ)

= 1 + 8 cos (θ) + 16 cos^{2} (θ)

= 1 + 8 cos (θ) + 16 cos^{2} (θ)

= 1 + 8 cos (θ) + 16 cos^{2} (θ) - 3 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 3 (1 - cos^{2} (θ)) : - 3 + 3 cos^{2} (θ)

- 3 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 cos^{2} (θ)

= 1 + 8 cos (θ) + 16 cos^{2} (θ) - 3 + 3 cos^{2} (θ)

Vereinfache

1 + 8 cos (θ) + 16 cos^{2} (θ) - 3 + 3 cos^{2} (θ) : 19 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 2

1 + 8 cos (θ) + 16 cos^{2} (θ) - 3 + 3 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 8 cos (θ) + 16 cos^{2} (θ) + 3 cos^{2} (θ) + 1 - 3

Addiere gleiche Elemente:

16 cos^{2} (θ) + 3 cos^{2} (θ) = 19 cos^{2} (θ)

= 8 cos (θ) + 19 cos^{2} (θ) + 1 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= 19 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 2

= 19 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 2

= 19 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 2

- 2 + 19 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 + 19 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 2 + 19 u^{2} + 8 u = 0

- 2 + 19 u^{2} + 8 u = 0 : u = \frac{- 4 + 3 6}{19}, u = - \frac{4 + 3 6}{19}

- 2 + 19 u^{2} + 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

19 u^{2} + 8 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

19 u^{2} + 8 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 19, b = 8, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 19 ( - 2 )}{2 \cdot 19}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 19 ( - 2 )}{2 \cdot 19}

8^{2} - 4 \cdot 19 (- 2) = 66

8^{2} - 4 \cdot 19 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 19 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 19 \cdot 2 = 152

= 8^{2} + 152

8^{2} = 64

= 64 + 152

Addiere die Zahlen:

64 + 152 = 216

= 216

Primfaktorzerlegung von

216 : 2^{3} \cdot 3^{3}

216

216

ist durch

2216 = 108 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 108

108

ist durch

2108 = 54 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 54

54

ist durch

254 = 27 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

ist durch

327 = 9 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{3}

= 2^{3} \cdot 3^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 2 \cdot 3

Fasse zusammen

= 66

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 6 6}{2 \cdot 19}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 8 + 6 6}{2 \cdot 19}, u_{2} = \frac{- 8 - 6 6}{2 \cdot 19}

u = \frac{- 8 + 6 6}{2 \cdot 19} : \frac{- 4 + 3 6}{19}

\frac{- 8 + 6 6}{2 \cdot 19}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 19 = 38

= \frac{- 8 + 6 6}{38}

Faktorisiere

- 8 + 66 : 2 (- 4 + 36)

- 8 + 66

Schreibe um

= - 2 \cdot 4 + 2 \cdot 36

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 4 + 36)

= \frac{2 ( - 4 + 3 6 )}{38}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 4 + 3 6}{19}

u = \frac{- 8 - 6 6}{2 \cdot 19} : - \frac{4 + 3 6}{19}

\frac{- 8 - 6 6}{2 \cdot 19}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 19 = 38

= \frac{- 8 - 6 6}{38}

Faktorisiere

- 8 - 66 : - 2 (4 + 36)

- 8 - 66

Schreibe um

= - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 36

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (4 + 36)

= - \frac{2 ( 4 + 3 6 )}{38}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{4 + 3 6}{19}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 4 + 3 6}{19}, u = - \frac{4 + 3 6}{19}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{- 4 + 3 6}{19}, cos (θ) = - \frac{4 + 3 6}{19}

cos (θ) = \frac{- 4 + 3 6}{19}, cos (θ) = - \frac{4 + 3 6}{19}

cos (θ) = \frac{- 4 + 3 6}{19} : θ = arccos (\frac{- 4 + 3 6}{19}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 4 + 3 6}{19}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 4 + 3 6}{19}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{- 4 + 3 6}{19}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{- 4 + 3 6}{19}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 4 + 3 6}{19}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 4 + 3 6}{19}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 4 + 3 6}{19}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 4 + 3 6}{19}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{4 + 3 6}{19} : θ = arccos (- \frac{4 + 3 6}{19}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{4 + 3 6}{19}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{4 + 3 6}{19}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{4 + 3 6}{19}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{4 + 3 6}{19}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{4 + 3 6}{19}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{4 + 3 6}{19}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{4 + 3 6}{19}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{4 + 3 6}{19}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{- 4 + 3 6}{19}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 4 + 3 6}{19}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{4 + 3 6}{19}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{4 + 3 6}{19}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.39363 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39363 \dots + 2 πn, θ = 2.21091 \dots + 2 πn, θ = - 2.21091 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

1/(tan(x))=4

\frac{1}{tan ( x )} = 4

sin^2(x)+2-3sin(x)=cos^2(x)

sin^{2} (x) + 2 - 3 sin (x) = cos^{2} (x)

4sin^2(θ)-4cos(θ)=1

4 sin^{2} (θ) - 4 cos (θ) = 1

(33)/(sin(x))=(29)/(sin(100))

\frac{33}{sin ( x )} = \frac{29}{sin ( 10 0 ^{\circ} )}

2cos^2(x)-1=sin(x)

2 cos^{2} (x) - 1 = sin (x)