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受欢迎的三角函数 >

2cos(2θ)-3cos(θ)-2=0

解答

2 cos (2 θ) - 3 cos (θ) - 2 = 0

解答

θ = 2.33643 \dots + 2 πn, θ = - 2.33643 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = 133.86809 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 133.86809 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

2 cos (2 θ) - 3 cos (θ) - 2 = 0

使用三角恒等式改写

- 2 + 2 cos (2 θ) - 3 cos (θ)

使用倍角公式:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 2 + 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 3 cos (θ)

化简

- 2 + 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 3 cos (θ) : 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 4

- 2 + 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 3 cos (θ)

乘开

2 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 4 cos^{2} (θ) - 2

2 (2 cos^{2} (θ) - 1)

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1

化简

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1 : 4 cos^{2} (θ) - 2

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1

数字相乘:

2 \cdot 2 = 4

= 4 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= 4 cos^{2} (θ) - 2

= 4 cos^{2} (θ) - 2

= - 2 + 4 cos^{2} (θ) - 2 - 3 cos (θ)

化简

- 2 + 4 cos^{2} (θ) - 2 - 3 cos (θ) : 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 4

- 2 + 4 cos^{2} (θ) - 2 - 3 cos (θ)

对同类项分组

= 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 2 - 2

数字相减:

- 2 - 2 = - 4

= 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 4

= 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 4

= 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 4

- 4 - 3 cos (θ) + 4 cos^{2} (θ) = 0

用替代法求解

- 4 - 3 cos (θ) + 4 cos^{2} (θ) = 0

令

: cos (θ) = u

- 4 - 3 u + 4 u^{2} = 0

- 4 - 3 u + 4 u^{2} = 0 : u = \frac{3 + 73}{8}, u = \frac{3 - 73}{8}

- 4 - 3 u + 4 u^{2} = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 3 u - 4 = 0

使用求根公式求解

4 u^{2} - 3 u - 4 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 4, b = - 3, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 4 (- 4) = 73

(- 3)^{2} - 4 \cdot 4 (- 4)

使用法则

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

数字相乘:

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

= 3^{2} + 64

3^{2} = 9

= 9 + 64

数字相加:

9 + 64 = 73

= 73

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 73}{2 \cdot 4}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 73}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 73}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 3 ) + 73}{2 \cdot 4} : \frac{3 + 73}{8}

\frac{- ( - 3 ) + 73}{2 \cdot 4}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{3 + 73}{2 \cdot 4}

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{3 + 73}{8}

u = \frac{- ( - 3 ) - 73}{2 \cdot 4} : \frac{3 - 73}{8}

\frac{- ( - 3 ) - 73}{2 \cdot 4}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{3 - 73}{2 \cdot 4}

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{3 - 73}{8}

二次方程组的解是:

u = \frac{3 + 73}{8}, u = \frac{3 - 73}{8}

u = cos (θ)

代回

cos (θ) = \frac{3 + 73}{8}, cos (θ) = \frac{3 - 73}{8}

cos (θ) = \frac{3 + 73}{8}, cos (θ) = \frac{3 - 73}{8}

cos (θ) = \frac{3 + 73}{8} :

无解

cos (θ) = \frac{3 + 73}{8}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

无解

cos (θ) = \frac{3 - 73}{8} : θ = arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{3 - 73}{8}

使用反三角函数性质

cos (θ) = \frac{3 - 73}{8}

cos (θ) = \frac{3 - 73}{8}

的通解

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn

合并所有解

θ = arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = 2.33643 \dots + 2 πn, θ = - 2.33643 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

tan(2θ)+6tan(θ)+8=0

tan (2 θ) + 6 tan (θ) + 8 = 0

cos(φ)=sqrt(3)sin(φ)

cos (φ) = 3 sin (φ)

5sin(x)-3cos(2x)+3=0

5 sin (x) - 3 cos (2 x) + 3 = 0

(tan^2(x))/(sec(x)+1)=tan(x)

\frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) + 1} = tan (x)

2cos^2(x)+cos(x)=1,0<= x<2pi

2 cos^{2} (x) + cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π