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Populaire Trigonométrie >

2cos^2(θ)-1=sec(θ)

Solution

2 cos^{2} (θ) - 1 = sec (θ)

Solution

θ = 2 πn

Degrés

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 cos^{2} (θ) - 1 = sec (θ)

Soustraire

sec (θ)

des deux côtés

2 cos^{2} (θ) - 1 - sec (θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 1 - sec (θ) + 2 cos^{2} (θ)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 1 - sec (θ) + 2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( θ )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

= 2 \cdot \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ^{2} ( θ )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

= - 1 - sec (θ) + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )} - sec (θ) = 0

Résoudre par substitution

- 1 + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )} - sec (θ) = 0

Soit :

sec (θ) = u

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0 : u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

Multiplier les deux côtés par

u^{2}

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

Multiplier les deux côtés par

u^{2}

- 1 \cdot u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} - u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplifier

- 1 \cdot u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} - u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplifier

- 1 \cdot u^{2} : - u^{2}

- 1 \cdot u^{2}

Multiplier:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= - u^{2}

Simplifier

\frac{2}{u ^{2}} u^{2} : 2

\frac{2}{u ^{2}} u^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ^{2}}{u ^{2}}

Annuler le facteur commun :

u^{2}

= 2

Simplifier

- u u^{2} : - u^{3}

- u u^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= - u^{1 + 2}

Additionner les nombres :

1 + 2 = 3

= - u^{3}

Simplifier

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

Résoudre

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0 : u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{3} - u^{2} + 2 = 0

Factoriser

- u^{3} - u^{2} + 2 : - (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

- u^{3} - u^{2} + 2

Factoriser le terme commun

- 1

= - (u^{3} + u^{2} - 2)

Factoriser

u^{3} + u^{2} - 2 : (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

u^{3} + u^{2} - 2

Utiliser le théorème de la racine rationnelle

a_{0} = 2, a_{n} = 1

Les diviseurs de

a_{0} : 1, 2,

Les diviseurs de

a_{n} : 1

Par conséquent, vérifier les nombres rationnels suivants :

\pm \frac{1 , 2}{1}

\frac{1}{1}

est une racine de l'expression, donc factorise

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1}

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + 2 u + 2

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1}

Diviser

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} : \frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

u^{3} + u^{2} - 2

et le diviseur

u - 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quotient = u^{2}

Multiplier

u - 1

par

u^{2} : u^{3} - u^{2}

Soustraire

u^{3} - u^{2}

u^{3} + u^{2} - 2

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 2 u^{2} - 2

Par conséquent

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

= u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

Diviser

\frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

2 u^{2} - 2

et le diviseur

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quotient = 2 u

Multiplier

u - 1

par

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Soustraire

2 u^{2} - 2 u

2 u^{2} - 2

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 2 u - 2

Par conséquent

\frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

= u^{2} + 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

Diviser

\frac{2 u - 2}{u - 1} : \frac{2 u - 2}{u - 1} = 2

Diviser les coefficients directeurs

2 u - 2

et le diviseur

u - 1 : \frac{2 u}{u} = 2

Quotient = 2

Multiplier

u - 1

par

2 : 2 u - 2

Soustraire

2 u - 2

2 u - 2

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 0

Par conséquent

\frac{2 u - 2}{u - 1} = 2

= u^{2} + 2 u + 2

= u^{2} + 2 u + 2

= (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

= - (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

- (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 2 u + 2 = 0

Résoudre

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

u = 1

u = 1

Résoudre

u^{2} + 2 u + 2 = 0 : u = - 1 + i, u = - 1 - i

u^{2} + 2 u + 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

u^{2} + 2 u + 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

Simplifier

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 : 2 i

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 2^{2} - 8

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Additionner/Soustraire les nombres :

- 4 + 8 = 4

= 4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1} : - 1 + i

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 i}{2}

Factoriser

- 2 + 2 i : 2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

Récrire comme

= - 2 \cdot 1 + 2 i

Factoriser le terme commun

2

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1} : - 1 - i

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 i}{2}

Factoriser

- 2 - 2 i : - 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

Récrire comme

= - 2 \cdot 1 - 2 i

Factoriser le terme commun

2

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + i)

Inverser

- (1 + i) = - 1 - i

= - 1 - i

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - 1 + i, u = - 1 - i

Les solutions sont

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u

et le comparer à zéro

Résoudre

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Appliquer la règle

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

Remplacer

u = sec (θ)

sec (θ) = 1, sec (θ) = - 1 + i, sec (θ) = - 1 - i

sec (θ) = 1, sec (θ) = - 1 + i, sec (θ) = - 1 - i

sec (θ) = 1 : θ = 2 πn

sec (θ) = 1

Solutions générales pour

sec (θ) = 1

Tableau de périodicité

sec (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Résoudre

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

sec (θ) = - 1 + i :

Aucune solution

sec (θ) = - 1 + i

Aucune solution

sec (θ) = - 1 - i :

Aucune solution

sec (θ) = - 1 - i

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

θ = 2 πn

Graphe

Exemples populaires

1/(sin(x))-sin(x)=sin(x)

4cos^2(x)=0

sin(2x)=(2*10*1500000)/(11000000)

2/(tan(x))=3-tan(x)

tan(x)=0.158