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Popular Trigonometría >

2cos(2x)=4cos(x)

Solución

2 cos (2 x) = 4 cos (x)

Solución

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Grados

x = 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 cos (2 x) = 4 cos (x)

Restar

4 cos (x)

de ambos lados

2 cos (2 x) - 4 cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

2 cos (2 x) - 4 cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 (2 cos^{2} (x) - 1) - 4 cos (x)

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 2 - 4 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 2 - 4 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u = 0

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u = 0 : u = \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{1 - 3}{2}

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u = 0

Desarrollar

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u : - 2 + 4 u^{2} - 4 u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u

= 2 (- 1 + 2 u^{2}) - 4 u

Expandir

2 (- 1 + 2 u^{2}) : - 2 + 4 u^{2}

2 (- 1 + 2 u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = - 1, c = 2 u^{2}

= 2 (- 1) + 2 \cdot 2 u^{2}

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2}

Simplificar

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2} : - 2 + 4 u^{2}

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 \cdot 2 u^{2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= - 2 + 4 u^{2}

= - 2 + 4 u^{2}

= - 2 + 4 u^{2} - 4 u

- 2 + 4 u^{2} - 4 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 4 u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} - 4 u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = - 4, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 43

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 4^{2} + 32

4^{2} = 16

= 16 + 32

Sumar:

16 + 32 = 48

= 48

Descomposición en factores primos de

48 : 2^{4} \cdot 3

48

48

divida por

248 = 24 \cdot 2

= 2 \cdot 24

24

divida por

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 12

12

divida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 3 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3

Simplificar

= 43

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4 3}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4 3}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4 3}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4 3}{2 \cdot 4} : \frac{1 + 3}{2}

\frac{- ( - 4 ) + 4 3}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4 + 4 3}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 + 4 3}{8}

Factorizar

4 + 43 : 4 (1 + 3)

4 + 43

Reescribir como

= 4 \cdot 1 + 43

Factorizar el termino común

4

= 4 (1 + 3)

= \frac{4 ( 1 + 3 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1 + 3}{2}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4 3}{2 \cdot 4} : \frac{1 - 3}{2}

\frac{- ( - 4 ) - 4 3}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4 - 4 3}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 - 4 3}{8}

Factorizar

4 - 43 : 4 (1 - 3)

4 - 43

Reescribir como

= 4 \cdot 1 - 43

Factorizar el termino común

4

= 4 (1 - 3)

= \frac{4 ( 1 - 3 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1 - 3}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{1 - 3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 3}{2} :

Sin solución

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = \frac{1 - 3}{2} : x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

(sin(42))/(22)=(sin(B))/(12)

sin(θ)= 16/14

tan(θ)= 83/47

solvefor x,2sin(x)-cos(x)sin(x)=0

5=5sin(4θ)