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Popular Trigonometría >

tan^2(x)+tan(x)+cot(x)+cot^2(x)=4

Solución

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

Solución

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

Grados

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 110.90515 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 159.09484 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

Restar

4

de ambos lados

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) - 4 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + tan (x) + tan^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Usando el método de sustitución

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Sea:

cot (x) = u

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Multiplicar por el mínimo común múltiplo

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Encontrar el mínimo común múltiplo de

u^{2}, u : u^{2}

u^{2}, u

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

u^{2}

u

= u^{2}

Multiplicar por el mínimo común múltiplo=

u^{2}

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

u u^{2} : u^{3}

u u^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= u^{1 + 2}

Sumar:

1 + 2 = 3

= u^{3}

Simplificar

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Simplificar

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

u^{2}

= 1

Simplificar

\frac{1}{u} u^{2} : u

\frac{1}{u} u^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

Multiplicar:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= \frac{u ^{2}}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= u

Simplificar

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

Resolver

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 = 0

Factorizar

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 : (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividir

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

y el divisor

u - 1 : \frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

Cociente = u^{3}

Multiplicar

u - 1

por

u^{3} : u^{4} - u^{3}

Substraer

u^{4} - u^{3}

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Por lo tanto

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividir

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

y el divisor

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Cociente = 2 u^{2}

Multiplicar

u - 1

por

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Substraer

2 u^{3} - 2 u^{2}

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 2 u^{2} + u + 1

Por lo tanto

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividir

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 2 u^{2} + u + 1

y el divisor

u - 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

Cociente = - 2 u

Multiplicar

u - 1

por

- 2 u : - 2 u^{2} + 2 u

Substraer

- 2 u^{2} + 2 u

- 2 u^{2} + u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - u + 1

Por lo tanto

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividir

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- u + 1

y el divisor

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Cociente = - 1

Multiplicar

u - 1

por

- 1 : - u + 1

Substraer

- u + 1

- u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

Factorizar

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1 : (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + 3 u + 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Cociente = u^{2}

Multiplicar

u - 1

por

u^{2} : u^{3} - u^{2}

Substraer

u^{3} - u^{2}

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 3 u^{2} - 2 u - 1

Por lo tanto

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

3 u^{2} - 2 u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{3 u ^{2}}{u} = 3 u

Cociente = 3 u

Multiplicar

u - 1

por

3 u : 3 u^{2} - 3 u

Substraer

3 u^{2} - 3 u

3 u^{2} - 2 u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = u - 1

Por lo tanto

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} + 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Cociente = 1

Multiplicar

u - 1

por

1 : u - 1

Substraer

u - 1

u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} + 3 u + 1

= u^{2} + 3 u + 1

= (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

= (u - 1) (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

Simplificar

= (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

(u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1) = 0

Usando la propiedad del factor cero:

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 3 u + 1 = 0

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

u^{2} + 3 u + 1 = 0 : u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u^{2} + 3 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} + 3 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 3^{2} - 4

3^{2} = 9

= 9 - 4

Restar:

9 - 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 + 5}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 + 5}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 - 5}{2}

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 - 5}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Las soluciones son

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u}

y comparar con cero

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cot (x)

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = 1

Soluciones generales para

cot (x) = 1

cot (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

Soluciones generales para

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

Soluciones generales para

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{4} + πn, x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn, x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan(a)=0

cos^2(x)+3|cos(x)|-1=0

cos^5(x)=sin(75)

csc^2(x)=sec(x)

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)