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Popolare Trigonometria >

tan^2(x)+tan(x)+cot(x)+cot^2(x)=4

Soluzione

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

Soluzione

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

Gradi

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 110.90515 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 159.09484 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

Sottrarre

4

da entrambi i lati

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) - 4 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + tan (x) + tan^{2} (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Risolvi per sostituzione

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Sia:

cot (x) = u

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Moltiplica per mcm

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Trovare il minimo comune multiplo di

u^{2}, u : u^{2}

u^{2}, u

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

u^{2}

u

= u^{2}

Moltiplicare per il minimo comune multiplo=

u^{2}

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Semplificare

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Semplificare

u u^{2} : u^{3}

u u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= u^{1 + 2}

Aggiungi i numeri:

1 + 2 = 3

= u^{3}

Semplificare

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Semplificare

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

u^{2}

= 1

Semplificare

\frac{1}{u} u^{2} : u

\frac{1}{u} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

Moltiplicare:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= \frac{u ^{2}}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= u

Semplificare

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

Risolvi

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 = 0

Fattorizza

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 : (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Usa il teorema della radice razionale

a_{0} = 1, a_{n} = 1

I divisori of

a_{0} : 1,

I divisori di

a_{n} : 1

Quindi, controlla i seguenti numeri razionali:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

è una radice della seguente espressione, quindi il fattore è

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividere

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

and the divisor

u - 1 : \frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

Quoziente = u^{3}

Moltiplica

u - 1

per

u^{3} : u^{4} - u^{3}

Sottrarre

u^{4} - u^{3}

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Quindi

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividere

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

and the divisor

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Quoziente = 2 u^{2}

Moltiplica

u - 1

per

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Sottrarre

2 u^{3} - 2 u^{2}

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = - 2 u^{2} + u + 1

Quindi

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Dividere

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- 2 u^{2} + u + 1

and the divisor

u - 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

Quoziente = - 2 u

Moltiplica

u - 1

per

- 2 u : - 2 u^{2} + 2 u

Sottrarre

- 2 u^{2} + 2 u

- 2 u^{2} + u + 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = - u + 1

Quindi

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividere

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- u + 1

and the divisor

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quoziente = - 1

Moltiplica

u - 1

per

- 1 : - u + 1

Sottrarre

- u + 1

- u + 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 0

Quindi

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

Fattorizza

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1 : (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

Usa il teorema della radice razionale

a_{0} = 1, a_{n} = 1

I divisori of

a_{0} : 1,

I divisori di

a_{n} : 1

Quindi, controlla i seguenti numeri razionali:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

è una radice della seguente espressione, quindi il fattore è

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + 3 u + 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Dividere

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

and the divisor

u - 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quoziente = u^{2}

Moltiplica

u - 1

per

u^{2} : u^{3} - u^{2}

Sottrarre

u^{3} - u^{2}

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 3 u^{2} - 2 u - 1

Quindi

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Dividere

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

3 u^{2} - 2 u - 1

and the divisor

u - 1 : \frac{3 u ^{2}}{u} = 3 u

Quoziente = 3 u

Moltiplica

u - 1

per

3 u : 3 u^{2} - 3 u

Sottrarre

3 u^{2} - 3 u

3 u^{2} - 2 u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = u - 1

Quindi

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} + 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividere

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

u - 1

and the divisor

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Quoziente = 1

Moltiplica

u - 1

per

1 : u - 1

Sottrarre

u - 1

u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 0

Quindi

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} + 3 u + 1

= u^{2} + 3 u + 1

= (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

= (u - 1) (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

Affinare

= (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

(u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 3 u + 1 = 0

Risolvi

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Risolvi

u^{2} + 3 u + 1 = 0 : u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u^{2} + 3 u + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

u^{2} + 3 u + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 3^{2} - 4

3^{2} = 9

= 9 - 4

Sottrai i numeri:

9 - 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 + 5}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 + 5}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 - 5}{2}

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 - 5}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Le soluzioni sono

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u}

e confrontare con zero

Risolvi

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Sostituire indietro

u = cot (x)

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = 1

Soluzioni generali per

cot (x) = 1

cot (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

Soluzioni generali per

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

Soluzioni generali per

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{4} + πn, x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn, x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

Grafico

Esempi popolari

tan(a)=0

tan (a) = 0

cos^2(x)+3|cos(x)|-1=0

cos^{2} (x) + 3 ∣ cos (x) ∣ - 1 = 0

cos^5(x)=sin(75)

cos^{5} (x) = sin (7 5^{\circ})

csc^2(x)=sec(x)

csc^{2} (x) = sec (x)

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)

(2 cos (x) - sin^{2} (x)) = 1 + cos^{2} (x)