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Popular Trigonometria >

csc^2(x)=sec(x)

Solução

csc^{2} (x) = sec (x)

Solução

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Graus

x = 51.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 308.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

csc^{2} (x) = sec (x)

Subtrair

sec (x)

de ambos os lados

csc^{2} (x) - sec (x) = 0

Expresar com seno, cosseno

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )} = 0

Simplificar

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

sin^{2} (x), cos (x) : sin^{2} (x) cos (x)

sin^{2} (x), cos (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sin^{2} (x)

quanto em

cos (x)

= sin^{2} (x) cos (x)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (x)

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{1}{cos ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin^{2} (x)

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) - sin^{2} (x) = 0

Adicionar

sin^{2} (x)

a ambos os lados

cos (x) = sin^{2} (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

cos^{2} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

Subtrair

(sin^{2} (x))^{2}

de ambos os lados

cos^{2} (x) - sin^{4} (x) = 0

Fatorar

cos^{2} (x) - sin^{4} (x) : (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

cos^{2} (x) - sin^{4} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= cos^{2} (x) - (sin^{2} (x))^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - (sin^{2} (x))^{2} = (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

= (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

(cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x)) = 0

Resolver cada parte separadamente

cos (x) + sin^{2} (x) = 0 or cos (x) - sin^{2} (x) = 0

cos (x) + sin^{2} (x) = 0 : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) + sin^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (x) + sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (x) + 1 - cos^{2} (x)

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

1 + u - u^{2} = 0

1 + u - u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

1 + u - u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- u^{2} + u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Somar:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 1 - 5 = - (1 + 5)

= \frac{1 + 5}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 5}{2} :

Sem solução

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) - sin^{2} (x) = 0 : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) - sin^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (x) - sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (x) - (1 - cos^{2} (x))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= cos (x) - 1 + cos^{2} (x)

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 + u + u^{2} = 0

- 1 + u + u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 + u + u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} + u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Somar:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2} :

Sem solução

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

csc^{2} (x) = sec (x)

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Para

csc^{2} (x) = sec (x)

inserir

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Simplificar

1.61803 \dots = - 1.61803 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Inserir

n = 1

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Para

csc^{2} (x) = sec (x)

inserir

x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Simplificar

1.61803 \dots = - 1.61803 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Verdadeiro

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Para

csc^{2} (x) = sec (x)

inserir

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Simplificar

1.61803 \dots = 1.61803 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Verdadeiro

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Inserir

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Para

csc^{2} (x) = sec (x)

inserir

x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Simplificar

1.61803 \dots = 1.61803 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)

(2 cos (x) - sin^{2} (x)) = 1 + cos^{2} (x)

6cos^3(x)+cos^2(x)-1=0

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

4tan^2(x)+12tan(x)-27=0

4 tan^{2} (x) + 12 tan (x) - 27 = 0

sin^2(x)-cos(x)= 1/4

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{4}

cos^4(a)=3+4cos^2(a)+cos^4(a)

cos^{4} (a) = 3 + 4 cos^{2} (a) + cos^{4} (a)