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csc^2(x)=sec(x)

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Soluzione

csc2(x)=sec(x)

Soluzione

x=0.90455…+2πn,x=2π−0.90455…+2πn
+1
Gradi
x=51.82729…∘+360∘n,x=308.17270…∘+360∘n
Fasi della soluzione
csc2(x)=sec(x)
Sottrarre sec(x) da entrambi i laticsc2(x)−sec(x)=0
Esprimere con sen e cos(sin(x)1​)2−cos(x)1​=0
Semplifica (sin(x)1​)2−cos(x)1​:sin2(x)cos(x)cos(x)−sin2(x)​
(sin(x)1​)2−cos(x)1​
(sin(x)1​)2=sin2(x)1​
(sin(x)1​)2
Applica la regola degli esponenti: (ba​)c=bcac​=sin2(x)12​
Applicare la regola 1a=112=1=sin2(x)1​
=sin2(x)1​−cos(x)1​
Minimo Comune Multiplo di sin2(x),cos(x):sin2(x)cos(x)
sin2(x),cos(x)
Minimo comune multiplo (mcm)
Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in sin2(x) o cos(x)=sin2(x)cos(x)
Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)
Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo
corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm sin2(x)cos(x)
Per sin2(x)1​:moltiplica il numeratore e il denominatore per cos(x)sin2(x)1​=sin2(x)cos(x)1⋅cos(x)​=sin2(x)cos(x)cos(x)​
Per cos(x)1​:moltiplica il numeratore e il denominatore per sin2(x)cos(x)1​=cos(x)sin2(x)1⋅sin2(x)​=sin2(x)cos(x)sin2(x)​
=sin2(x)cos(x)cos(x)​−sin2(x)cos(x)sin2(x)​
Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni: ca​±cb​=ca±b​=sin2(x)cos(x)cos(x)−sin2(x)​
sin2(x)cos(x)cos(x)−sin2(x)​=0
g(x)f(x)​=0⇒f(x)=0cos(x)−sin2(x)=0
Aggiungi sin2(x) ad entrambi i laticos(x)=sin2(x)
Eleva entrambi i lati al quadratocos2(x)=(sin2(x))2
Sottrarre (sin2(x))2 da entrambi i laticos2(x)−sin4(x)=0
Fattorizza cos2(x)−sin4(x):(cos(x)+sin2(x))(cos(x)−sin2(x))
cos2(x)−sin4(x)
Applica la regola degli esponenti: abc=(ab)csin4(x)=(sin2(x))2=cos2(x)−(sin2(x))2
Applicare la formula differenza di due quadrati: x2−y2=(x+y)(x−y)cos2(x)−(sin2(x))2=(cos(x)+sin2(x))(cos(x)−sin2(x))=(cos(x)+sin2(x))(cos(x)−sin2(x))
(cos(x)+sin2(x))(cos(x)−sin2(x))=0
Risolvere ogni parte separatamentecos(x)+sin2(x)=0orcos(x)−sin2(x)=0
cos(x)+sin2(x)=0:x=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn
cos(x)+sin2(x)=0
Riscrivere utilizzando identità trigonometriche
cos(x)+sin2(x)
Usa l'identità pitagorica: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=cos(x)+1−cos2(x)
1+cos(x)−cos2(x)=0
Risolvi per sostituzione
1+cos(x)−cos2(x)=0
Sia: cos(x)=u1+u−u2=0
1+u−u2=0:u=−2−1+5​​,u=21+5​​
1+u−u2=0
Scrivi in forma standard ax2+bx+c=0−u2+u+1=0
Risolvi con la formula quadratica
−u2+u+1=0
Formula dell'equazione quadratica:
Per a=−1,b=1,c=1u1,2​=2(−1)−1±12−4(−1)⋅1​​
u1,2​=2(−1)−1±12−4(−1)⋅1​​
12−4(−1)⋅1​=5​
12−4(−1)⋅1​
Applicare la regola 1a=112=1=1−4(−1)⋅1​
Applicare la regola −(−a)=a=1+4⋅1⋅1​
Moltiplica i numeri: 4⋅1⋅1=4=1+4​
Aggiungi i numeri: 1+4=5=5​
u1,2​=2(−1)−1±5​​
Separare le soluzioniu1​=2(−1)−1+5​​,u2​=2(−1)−1−5​​
u=2(−1)−1+5​​:−2−1+5​​
2(−1)−1+5​​
Rimuovi le parentesi: (−a)=−a=−2⋅1−1+5​​
Moltiplica i numeri: 2⋅1=2=−2−1+5​​
Applica la regola delle frazioni: −ba​=−ba​=−2−1+5​​
u=2(−1)−1−5​​:21+5​​
2(−1)−1−5​​
Rimuovi le parentesi: (−a)=−a=−2⋅1−1−5​​
Moltiplica i numeri: 2⋅1=2=−2−1−5​​
Applica la regola delle frazioni: −b−a​=ba​−1−5​=−(1+5​)=21+5​​
Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:u=−2−1+5​​,u=21+5​​
Sostituire indietro u=cos(x)cos(x)=−2−1+5​​,cos(x)=21+5​​
cos(x)=−2−1+5​​,cos(x)=21+5​​
cos(x)=−2−1+5​​:x=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn
cos(x)=−2−1+5​​
Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche
cos(x)=−2−1+5​​
Soluzioni generali per cos(x)=−2−1+5​​cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn
x=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn
cos(x)=21+5​​:Nessuna soluzione
cos(x)=21+5​​
−1≤cos(x)≤1Nessunasoluzione
Combinare tutte le soluzionix=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn
cos(x)−sin2(x)=0:x=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
cos(x)−sin2(x)=0
Riscrivere utilizzando identità trigonometriche
cos(x)−sin2(x)
Usa l'identità pitagorica: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=cos(x)−(1−cos2(x))
−(1−cos2(x)):−1+cos2(x)
−(1−cos2(x))
Distribuire le parentesi=−(1)−(−cos2(x))
Applicare le regole di sottrazione-addizione−(−a)=a,−(a)=−a=−1+cos2(x)
=cos(x)−1+cos2(x)
−1+cos(x)+cos2(x)=0
Risolvi per sostituzione
−1+cos(x)+cos2(x)=0
Sia: cos(x)=u−1+u+u2=0
−1+u+u2=0:u=2−1+5​​,u=2−1−5​​
−1+u+u2=0
Scrivi in forma standard ax2+bx+c=0u2+u−1=0
Risolvi con la formula quadratica
u2+u−1=0
Formula dell'equazione quadratica:
Per a=1,b=1,c=−1u1,2​=2⋅1−1±12−4⋅1⋅(−1)​​
u1,2​=2⋅1−1±12−4⋅1⋅(−1)​​
12−4⋅1⋅(−1)​=5​
12−4⋅1⋅(−1)​
Applicare la regola 1a=112=1=1−4⋅1⋅(−1)​
Applicare la regola −(−a)=a=1+4⋅1⋅1​
Moltiplica i numeri: 4⋅1⋅1=4=1+4​
Aggiungi i numeri: 1+4=5=5​
u1,2​=2⋅1−1±5​​
Separare le soluzioniu1​=2⋅1−1+5​​,u2​=2⋅1−1−5​​
u=2⋅1−1+5​​:2−1+5​​
2⋅1−1+5​​
Moltiplica i numeri: 2⋅1=2=2−1+5​​
u=2⋅1−1−5​​:2−1−5​​
2⋅1−1−5​​
Moltiplica i numeri: 2⋅1=2=2−1−5​​
Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:u=2−1+5​​,u=2−1−5​​
Sostituire indietro u=cos(x)cos(x)=2−1+5​​,cos(x)=2−1−5​​
cos(x)=2−1+5​​,cos(x)=2−1−5​​
cos(x)=2−1+5​​:x=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
cos(x)=2−1+5​​
Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche
cos(x)=2−1+5​​
Soluzioni generali per cos(x)=2−1+5​​cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
x=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
cos(x)=2−1−5​​:Nessuna soluzione
cos(x)=2−1−5​​
−1≤cos(x)≤1Nessunasoluzione
Combinare tutte le soluzionix=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
Combinare tutte le soluzionix=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale
Verifica le soluzioni sostituendole in csc2(x)=sec(x)
Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.
Verificare la soluzione arccos(−2−1+5​​)+2πn:Falso
arccos(−2−1+5​​)+2πn
Inserire in n=1arccos(−2−1+5​​)+2π1
Per csc2(x)=sec(x)inserisci lax=arccos(−2−1+5​​)+2π1csc2(arccos(−2−1+5​​)+2π1)=sec(arccos(−2−1+5​​)+2π1)
Affinare1.61803…=−1.61803…
⇒Falso
Verificare la soluzione −arccos(−2−1+5​​)+2πn:Falso
−arccos(−2−1+5​​)+2πn
Inserire in n=1−arccos(−2−1+5​​)+2π1
Per csc2(x)=sec(x)inserisci lax=−arccos(−2−1+5​​)+2π1csc2(−arccos(−2−1+5​​)+2π1)=sec(−arccos(−2−1+5​​)+2π1)
Affinare1.61803…=−1.61803…
⇒Falso
Verificare la soluzione arccos(2−1+5​​)+2πn:Vero
arccos(2−1+5​​)+2πn
Inserire in n=1arccos(2−1+5​​)+2π1
Per csc2(x)=sec(x)inserisci lax=arccos(2−1+5​​)+2π1csc2(arccos(2−1+5​​)+2π1)=sec(arccos(2−1+5​​)+2π1)
Affinare1.61803…=1.61803…
⇒Vero
Verificare la soluzione 2π−arccos(2−1+5​​)+2πn:Vero
2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
Inserire in n=12π−arccos(2−1+5​​)+2π1
Per csc2(x)=sec(x)inserisci lax=2π−arccos(2−1+5​​)+2π1csc2(2π−arccos(2−1+5​​)+2π1)=sec(2π−arccos(2−1+5​​)+2π1)
Affinare1.61803…=1.61803…
⇒Vero
x=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
Mostra le soluzioni in forma decimalex=0.90455…+2πn,x=2π−0.90455…+2πn

Grafico

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Esempi popolari

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)(2cos(x)−sin2(x))=1+cos2(x)6cos^3(x)+cos^2(x)-1=06cos3(x)+cos2(x)−1=04tan^2(x)+12tan(x)-27=04tan2(x)+12tan(x)−27=0sin^2(x)-cos(x)= 1/4sin2(x)−cos(x)=41​cos^4(a)=3+4cos^2(a)+cos^4(a)cos4(a)=3+4cos2(a)+cos4(a)
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