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Popular Trigonometria >

6cos^3(x)+cos^2(x)-1=0

Solução

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

Solução

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graus

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

Usando o método de substituição

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

Sea:

cos (x) = u

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0

Fatorar

6 u^{3} + u^{2} - 1 : (2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

6 u^{3} + u^{2} - 1

Utilizar o teorema das raízes racionais

a_{0} = 1, a_{n} = 6

Os divisores de

a_{0} : 1,

Os divisores de

a_{n} : 1, 2, 3, 6

Portanto, verificar os seguintes números racionais:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 3 , 6}

\frac{1}{2}

é a raiz da expressão, portanto, fatorar

2 u - 1

= (2 u - 1) \frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1}

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + 2 u + 1

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Dividir

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} : \frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

6 u^{3} + u^{2} - 1

e o divisor

2 u - 1 : \frac{6 u ^{3}}{2 u} = 3 u^{2}

Quociente = 3 u^{2}

Multiplicar

2 u - 1

por

3 u^{2} : 6 u^{3} - 3 u^{2}

Subtrair

6 u^{3} - 3 u^{2}

6 u^{3} + u^{2} - 1

para obter um novo resto

Resto = 4 u^{2} - 1

Portanto

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

= 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Dividir

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} : \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

4 u^{2} - 1

e o divisor

2 u - 1 : \frac{4 u ^{2}}{2 u} = 2 u

Quociente = 2 u

Multiplicar

2 u - 1

por

2 u : 4 u^{2} - 2 u

Subtrair

4 u^{2} - 2 u

4 u^{2} - 1

para obter um novo resto

Resto = 2 u - 1

Portanto

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

= 3 u^{2} + 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

Dividir

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} : \frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

2 u - 1

e o divisor

2 u - 1 : \frac{2 u}{2 u} = 1

Quociente = 1

Multiplicar

2 u - 1

por

1 : 2 u - 1

Subtrair

2 u - 1

2 u - 1

para obter um novo resto

Resto = 0

Portanto

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

= 3 u^{2} + 2 u + 1

= (2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

(2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

2 u - 1 = 0 or 3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Resolver

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 3, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

Simplificar

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 : 22 i

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 2^{2} - 12

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- a = i a

= i 12 - 2^{2}

- 2^{2} + 12 = 22

- 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= - 4 + 12

Somar/subtrair:

- 4 + 12 = 8

= 8

Decomposição em fatores primos de

8 : 2^{3}

8

8

dividida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, não é possível fatorá-lo mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= 22 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2 i}{2 \cdot 3}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

\frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 + 2 2 i}{6}

Fatorar

- 2 + 22 i : 2 (- 1 + 2 i)

- 2 + 22 i

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 + 22 i

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- 1 + 2 i)

= \frac{2 ( - 1 + 2 i )}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{- 1 + 2 i}{3}

Reescrever

\frac{- 1 + 2 i}{3}

na forma complexa padrão:

- \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

\frac{- 1 + 2 i}{3}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 2 i}{3} = - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

u = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

\frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 - 2 2 i}{6}

Fatorar

- 2 - 22 i : - 2 (1 + 2 i)

- 2 - 22 i

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 - 22 i

Fatorar o termo comum

2

= - 2 (1 + 2 i)

= - \frac{2 ( 1 + 2 i )}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{1 + 2 i}{3}

Reescrever

- \frac{1 + 2 i}{3}

na forma complexa padrão:

- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

- \frac{1 + 2 i}{3}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 2 i}{3} = - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

= - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

Remover os parênteses:

(a) = a

= - \frac{1}{3} - \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

As soluções são

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3} :

Sem solução

cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3} :

Sem solução

cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

4tan^2(x)+12tan(x)-27=0

4 tan^{2} (x) + 12 tan (x) - 27 = 0

sin^2(x)-cos(x)= 1/4

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{4}

cos^4(a)=3+4cos^2(a)+cos^4(a)

cos^{4} (a) = 3 + 4 cos^{2} (a) + cos^{4} (a)

cos^4(t)=1

cos^{4} (t) = 1

8cos^2(x)-12sin(x)-12=0

8 cos^{2} (x) - 12 sin (x) - 12 = 0