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Popolare Trigonometria >

(cos^2(x)+cos(x))*(sin(x)+sin^3(x))=0

Soluzione

(cos^{2} (x) + cos (x)) \cdot (sin (x) + sin^{3} (x)) = 0

Soluzione

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn, x = 2 πn

Gradi

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

(cos^{2} (x) + cos (x)) (sin (x) + sin^{3} (x)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

cos^{2} (x) + cos (x) = 0 or sin (x) + sin^{3} (x) = 0

cos^{2} (x) + cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn

cos^{2} (x) + cos (x) = 0

Risolvi per sostituzione

cos^{2} (x) + cos (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

u^{2} + u = 0

u^{2} + u = 0 : u = 0, u = - 1

u^{2} + u = 0

Risolvi con la formula quadratica

u^{2} + u = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot 0

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 1 - 0

Sottrai i numeri:

1 - 0 = 1

= 1

Applicare la regola

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 \cdot 1}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 1}{2 \cdot 1} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 \cdot 1}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{2}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 \cdot 1} : - 1

\frac{- 1 - 1}{2 \cdot 1}

Sottrai i numeri:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 0, u = - 1

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = 0, cos (x) = - 1

cos (x) = 0, cos (x) = - 1

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluzioni generali per

cos (x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Soluzioni generali per

cos (x) = - 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) + sin^{3} (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) + sin^{3} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

sin (x) + sin^{3} (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

u + u^{3} = 0

u + u^{3} = 0 : u = 0, u = i, u = - i

u + u^{3} = 0

Fattorizza

u + u^{3} : u (u^{2} + 1)

u + u^{3}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= u^{2} u + u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (u^{2} + 1)

u (u^{2} + 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u = 0 or u^{2} + 1 = 0

Risolvi

u^{2} + 1 = 0 : u = i, u = - i

u^{2} + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u^{2} + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Semplifica

- 1 : i

- 1

Applicare la regola del numero immaginario:

- 1 = i

= i

Semplifica

- - 1 : - i

- - 1

Applicare la regola del numero immaginario:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Le soluzioni sono

u = 0, u = i, u = - i

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = 0, sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluzioni generali per

sin (x) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = i :

Nessuna soluzione

sin (x) = i

Nessuna soluzione

sin (x) = - i :

Nessuna soluzione

sin (x) = - i

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn, x = 2 πn

Grafico

Esempi popolari

arccos(x)-arcsin(x)=arcsin(1-x)

sin^2(x)=|sin(x)|

1-cos^2(x)-sin^{22}(x)=0

cos(x/4)sin(x/4)=sqrt(3)sin(x/4)cos(x/4)

5cos(x)=1+2sin^2(x)