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Popular Trigonometría >

tan(a)+sec(a)= 3/2

Solución

tan (a) + sec (a) = \frac{3}{2}

Solución

a = 0.39479 \dots + 2 πn

Grados

a = 22.61986 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan (a) + sec (a) = \frac{3}{2}

Restar

\frac{3}{2}

de ambos lados

tan (a) + sec (a) - \frac{3}{2} = 0

Simplificar

tan (a) + sec (a) - \frac{3}{2} : \frac{2 tan ( a ) + 2 sec ( a ) - 3}{2}

tan (a) + sec (a) - \frac{3}{2}

Convertir a fracción:

tan (a) = \frac{tan ( a ) 2}{2}, sec (a) = \frac{sec ( a ) 2}{2}

= \frac{tan ( a ) \cdot 2}{2} + \frac{sec ( a ) \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( a ) \cdot 2 + sec ( a ) \cdot 2 - 3}{2}

\frac{2 tan ( a ) + 2 sec ( a ) - 3}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 tan (a) + 2 sec (a) - 3 = 0

Expresar con seno, coseno

2 \cdot \frac{sin ( a )}{cos ( a )} + 2 \cdot \frac{1}{cos ( a )} - 3 = 0

Simplificar

2 \cdot \frac{sin ( a )}{cos ( a )} + 2 \cdot \frac{1}{cos ( a )} - 3 : \frac{2 sin ( a ) + 2 - 3 cos ( a )}{cos ( a )}

2 \cdot \frac{sin ( a )}{cos ( a )} + 2 \cdot \frac{1}{cos ( a )} - 3

2 \cdot \frac{sin ( a )}{cos ( a )} = \frac{2 sin ( a )}{cos ( a )}

2 \cdot \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( a ) \cdot 2}{cos ( a )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( a )} = \frac{2}{cos ( a )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( a )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( a )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( a )}

= \frac{2 sin ( a )}{cos ( a )} + \frac{2}{cos ( a )} - 3

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{2 sin ( a ) + 2}{cos ( a )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( a ) + 2}{cos ( a )}

= \frac{2 sin ( a ) + 2}{cos ( a )} - 3

Convertir a fracción:

3 = \frac{3 cos ( a )}{cos ( a )}

= \frac{sin ( a ) \cdot 2 + 2}{cos ( a )} - \frac{3 cos ( a )}{cos ( a )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( a ) \cdot 2 + 2 - 3 cos ( a )}{cos ( a )}

\frac{2 sin ( a ) + 2 - 3 cos ( a )}{cos ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin (a) + 2 - 3 cos (a) = 0

Sumar

3 cos (a)

a ambos lados

2 sin (a) + 2 = 3 cos (a)

Elevar al cuadrado ambos lados

(2 sin (a) + 2)^{2} = (3 cos (a))^{2}

Restar

(3 cos (a))^{2}

de ambos lados

(2 sin (a) + 2)^{2} - 9 cos^{2} (a) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(2 + 2 sin (a))^{2} - 9 cos^{2} (a)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (2 + 2 sin (a))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (a))

Simplificar

(2 + 2 sin (a))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (a)) : 13 sin^{2} (a) + 8 sin (a) - 5

(2 + 2 sin (a))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (a))

(2 + 2 sin (a))^{2} : 4 + 8 sin (a) + 4 sin^{2} (a)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 2 sin (a)

= 2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 2 sin (a) + (2 sin (a))^{2}

Simplificar

2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 2 sin (a) + (2 sin (a))^{2} : 4 + 8 sin (a) + 4 sin^{2} (a)

2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 2 sin (a) + (2 sin (a))^{2}

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

2 \cdot 2 \cdot 2 sin (a) = 8 sin (a)

2 \cdot 2 \cdot 2 sin (a)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

= 8 sin (a)

(2 sin (a))^{2} = 4 sin^{2} (a)

(2 sin (a))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} sin^{2} (a)

2^{2} = 4

= 4 sin^{2} (a)

= 4 + 8 sin (a) + 4 sin^{2} (a)

= 4 + 8 sin (a) + 4 sin^{2} (a)

= 4 + 8 sin (a) + 4 sin^{2} (a) - 9 (1 - sin^{2} (a))

Expandir

- 9 (1 - sin^{2} (a)) : - 9 + 9 sin^{2} (a)

- 9 (1 - sin^{2} (a))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = sin^{2} (a)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) sin^{2} (a)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 sin^{2} (a)

Multiplicar los numeros:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 sin^{2} (a)

= 4 + 8 sin (a) + 4 sin^{2} (a) - 9 + 9 sin^{2} (a)

Simplificar

4 + 8 sin (a) + 4 sin^{2} (a) - 9 + 9 sin^{2} (a) : 13 sin^{2} (a) + 8 sin (a) - 5

4 + 8 sin (a) + 4 sin^{2} (a) - 9 + 9 sin^{2} (a)

Agrupar términos semejantes

= 8 sin (a) + 4 sin^{2} (a) + 9 sin^{2} (a) + 4 - 9

Sumar elementos similares:

4 sin^{2} (a) + 9 sin^{2} (a) = 13 sin^{2} (a)

= 8 sin (a) + 13 sin^{2} (a) + 4 - 9

Sumar/restar lo siguiente:

4 - 9 = - 5

= 13 sin^{2} (a) + 8 sin (a) - 5

= 13 sin^{2} (a) + 8 sin (a) - 5

= 13 sin^{2} (a) + 8 sin (a) - 5

- 5 + 13 sin^{2} (a) + 8 sin (a) = 0

Usando el método de sustitución

- 5 + 13 sin^{2} (a) + 8 sin (a) = 0

Sea:

sin (a) = u

- 5 + 13 u^{2} + 8 u = 0

- 5 + 13 u^{2} + 8 u = 0 : u = \frac{5}{13}, u = - 1

- 5 + 13 u^{2} + 8 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

13 u^{2} + 8 u - 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

13 u^{2} + 8 u - 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 13, b = 8, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 13 ( - 5 )}{2 \cdot 13}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 13 ( - 5 )}{2 \cdot 13}

8^{2} - 4 \cdot 13 (- 5) = 18

8^{2} - 4 \cdot 13 (- 5)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 13 \cdot 5 = 260

= 8^{2} + 260

8^{2} = 64

= 64 + 260

Sumar:

64 + 260 = 324

= 324

Descomponer el número en factores primos:

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 18}{2 \cdot 13}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 8 + 18}{2 \cdot 13}, u_{2} = \frac{- 8 - 18}{2 \cdot 13}

u = \frac{- 8 + 18}{2 \cdot 13} : \frac{5}{13}

\frac{- 8 + 18}{2 \cdot 13}

Sumar/restar lo siguiente:

- 8 + 18 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 13}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{10}{26}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{5}{13}

u = \frac{- 8 - 18}{2 \cdot 13} : - 1

\frac{- 8 - 18}{2 \cdot 13}

Restar:

- 8 - 18 = - 26

= \frac{- 26}{2 \cdot 13}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{- 26}{26}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{26}{26}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{5}{13}, u = - 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (a)

sin (a) = \frac{5}{13}, sin (a) = - 1

sin (a) = \frac{5}{13}, sin (a) = - 1

sin (a) = \frac{5}{13} : a = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

sin (a) = \frac{5}{13}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (a) = \frac{5}{13}

Soluciones generales para

sin (a) = \frac{5}{13}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

a = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

a = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

sin (a) = - 1 : a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (a) = - 1

Soluciones generales para

sin (a) = - 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

a = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

tan (a) + sec (a) = \frac{3}{2}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

tan (a) + sec (a) = \frac{3}{2}

por

a = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1

tan (arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1) + sec (arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1) = \frac{3}{2}

Simplificar

1.5 = 1.5

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

tan (a) + sec (a) = \frac{3}{2}

por

a = π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1

tan (π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1) + sec (π - arcsin (\frac{5}{13}) + 2 π 1) = \frac{3}{2}

Simplificar

- 1.5 = 1.5

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

tan (a) + sec (a) = \frac{3}{2}

por

a = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + sec (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = \frac{3}{2}

Sin definir

\Rightarrow Falso

a = arcsin (\frac{5}{13}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

a = 0.39479 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

3cos^2(x)+4cos^4(x)-5=0

cos(2x+3)=0

3cos^2(x)-2sin(x)=3sin(x)-sin^2(x)

5tan(y)-1= 1/(5tan(y))

d^2+d=cos(x)