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Popular Trigonometría >

5tan^4(x)-10tan^2(x)+1=0

Solución

5 tan^{4} (x) - 10 tan^{2} (x) + 1 = 0

Solución

x = 0.94247 \dots + πn, x = - 0.94247 \dots + πn, x = 0.31415 \dots + πn, x = - 0.31415 \dots + πn

Grados

x = 5 4^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 5 4^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 1 8^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 1 8^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

5 tan^{4} (x) - 10 tan^{2} (x) + 1 = 0

Usando el método de sustitución

5 tan^{4} (x) - 10 tan^{2} (x) + 1 = 0

Sea:

tan (x) = u

5 u^{4} - 10 u^{2} + 1 = 0

5 u^{4} - 10 u^{2} + 1 = 0 : u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}, u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

5 u^{4} - 10 u^{2} + 1 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0

Resolver

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0 : v = \frac{5 + 2 5}{5}, v = \frac{5 - 2 5}{5}

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 5, b = - 10, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 5}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 5}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 45

(- 10)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 5 \cdot 1 = 20

= 1 0^{2} - 20

1 0^{2} = 100

= 100 - 20

Restar:

100 - 20 = 80

= 80

Descomposición en factores primos de

80 : 2^{4} \cdot 5

80

80

divida por

280 = 40 \cdot 2

= 2 \cdot 40

40

divida por

240 = 20 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 20

20

divida por

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10

divida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{4} \cdot 5

= 2^{4} \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 5 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 5

Simplificar

= 45

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 4 5}{2 \cdot 5}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 4 5}{2 \cdot 5}, v_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 4 5}{2 \cdot 5}

v = \frac{- ( - 10 ) + 4 5}{2 \cdot 5} : \frac{5 + 2 5}{5}

\frac{- ( - 10 ) + 4 5}{2 \cdot 5}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{10 + 4 5}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10 + 4 5}{10}

Factorizar

10 + 45 : 2 (5 + 25)

10 + 45

Reescribir como

= 2 \cdot 5 + 2 \cdot 25

Factorizar el termino común

2

= 2 (5 + 25)

= \frac{2 ( 5 + 2 5 )}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{5 + 2 5}{5}

v = \frac{- ( - 10 ) - 4 5}{2 \cdot 5} : \frac{5 - 2 5}{5}

\frac{- ( - 10 ) - 4 5}{2 \cdot 5}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{10 - 4 5}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10 - 4 5}{10}

Factorizar

10 - 45 : 2 (5 - 25)

10 - 45

Reescribir como

= 2 \cdot 5 - 2 \cdot 25

Factorizar el termino común

2

= 2 (5 - 25)

= \frac{2 ( 5 - 2 5 )}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{5 - 2 5}{5}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = \frac{5 + 2 5}{5}, v = \frac{5 - 2 5}{5}

v = \frac{5 + 2 5}{5}, v = \frac{5 - 2 5}{5}

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = \frac{5 + 2 5}{5} : u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}

u^{2} = \frac{5 + 2 5}{5}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}

Resolver

u^{2} = \frac{5 - 2 5}{5} : u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

u^{2} = \frac{5 - 2 5}{5}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

Las soluciones son

u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}, u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5} : x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}

Soluciones generales para

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn

x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5} : x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}

Soluciones generales para

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn

x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5} : x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}

Soluciones generales para

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn

x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5} : x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

Soluciones generales para

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

Combinar toda las soluciones

x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn, x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn, x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn, x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.94247 \dots + πn, x = - 0.94247 \dots + πn, x = 0.31415 \dots + πn, x = - 0.31415 \dots + πn

Gráfica

Ejemplos populares

6tan(x)=8

sin(x)cos(x-60)=0

1+cos(a)=(2cos^2(a))/2

cos(x)+cos^4(x)= 1/2

sin^2(x)=sec(x)