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Popular Trigonometría >

cos(x/2)=cos(x)+1

Solución

cos (\frac{x}{2}) = cos (x) + 1

Solución

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = \frac{2 π}{3} + 4 πn, x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

Grados

x = 18 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 54 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 60 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (\frac{x}{2}) = cos (x) + 1

Restar

cos (x) + 1

de ambos lados

cos (\frac{x}{2}) - cos (x) - 1 = 0

Sea:

u = \frac{x}{2}

cos (u) - cos (2 u) - 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 - cos (2 u) + cos (u)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 - (2 cos^{2} (u) - 1) + cos (u)

Simplificar

- 1 - (2 cos^{2} (u) - 1) + cos (u) : cos (u) - 2 cos^{2} (u)

- 1 - (2 cos^{2} (u) - 1) + cos (u)

- (2 cos^{2} (u) - 1) : - 2 cos^{2} (u) + 1

- (2 cos^{2} (u) - 1)

Poner los parentesis

= - (2 cos^{2} (u)) - (- 1)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 cos^{2} (u) + 1

= - 1 - 2 cos^{2} (u) + 1 + cos (u)

Simplificar

- 1 - 2 cos^{2} (u) + 1 + cos (u) : cos (u) - 2 cos^{2} (u)

- 1 - 2 cos^{2} (u) + 1 + cos (u)

Agrupar términos semejantes

= - 2 cos^{2} (u) + cos (u) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= cos (u) - 2 cos^{2} (u)

= cos (u) - 2 cos^{2} (u)

= cos (u) - 2 cos^{2} (u)

cos (u) - 2 cos^{2} (u) = 0

Usando el método de sustitución

cos (u) - 2 cos^{2} (u) = 0

Sea:

cos (u) = u

u - 2 u^{2} = 0

u - 2 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{1}{2}

u - 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 u^{2} + u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 2) \cdot 0

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Sumar:

1 + 0 = 1

= 1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 2}

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 2}

Restar:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 0, u = \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (u)

cos (u) = 0, cos (u) = \frac{1}{2}

cos (u) = 0, cos (u) = \frac{1}{2}

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (u) = 0

Soluciones generales para

cos (u) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (u) = \frac{1}{2} : u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (u) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (u) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{5 π}{3} + 2 πn

u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn, u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Sustituir en la ecuación

u = \frac{x}{2}

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn : 3 π + 4 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} = 3 π

2 \cdot \frac{3 π}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 3 π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn : x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn : \frac{2 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Multiplicar

2 \cdot \frac{π}{3} : \frac{2 π}{3}

2 \cdot \frac{π}{3}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{3}

= \frac{2 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 π}{3} + 4 πn

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

x = \frac{2 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3} + 2 πn : x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn : \frac{10 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{3} = \frac{10 π}{3}

2 \cdot \frac{5 π}{3}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 2}{3}

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{10 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{10 π}{3} + 4 πn

x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = \frac{2 π}{3} + 4 πn, x = \frac{10 π}{3} + 4 πn

Gráfica

Ejemplos populares

d=(sin^4(x)-cos^2(x)+5)/(4*cos^2(x))

2+cos^2(x)=5sin(x)

tan^3(3x)-2sin^3(3x)=0

cot^5(x)=(-1)/((sqrt(3)))

2cos^4(x)cos(x)-cos^5(x)=1