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Popular Trigonometría >

2+cos^2(x)=5sin(x)

Solución

2 + cos^{2} (x) = 5 sin (x)

Solución

x = 0.57207 \dots + 2 πn, x = π - 0.57207 \dots + 2 πn

Grados

x = 32.77771 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 147.22228 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 + cos^{2} (x) = 5 sin (x)

Restar

5 sin (x)

de ambos lados

2 + cos^{2} (x) - 5 sin (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

2 + cos^{2} (x) - 5 sin (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 2 + 1 - sin^{2} (x) - 5 sin (x)

Simplificar

= - sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 3

3 - sin^{2} (x) - 5 sin (x) = 0

Usando el método de sustitución

3 - sin^{2} (x) - 5 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

3 - u^{2} - 5 u = 0

3 - u^{2} - 5 u = 0 : u = - \frac{5 + 37}{2}, u = \frac{37 - 5}{2}

3 - u^{2} - 5 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 5 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- u^{2} - 5 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 1, b = - 5, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 3}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 3}{2 ( - 1 )}

(- 5)^{2} - 4 (- 1) \cdot 3 = 37

(- 5)^{2} - 4 (- 1) \cdot 3

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

= 5^{2} + 12

5^{2} = 25

= 25 + 12

Sumar:

25 + 12 = 37

= 37

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 37}{2 ( - 1 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 37}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 37}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 5 ) + 37}{2 ( - 1 )} : - \frac{5 + 37}{2}

\frac{- ( - 5 ) + 37}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 + 37}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 + 37}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 + 37}{2}

u = \frac{- ( - 5 ) - 37}{2 ( - 1 )} : \frac{37 - 5}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 37}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 - 37}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 - 37}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

5 - 37 = - (37 - 5)

= \frac{37 - 5}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{5 + 37}{2}, u = \frac{37 - 5}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{5 + 37}{2}, sin (x) = \frac{37 - 5}{2}

sin (x) = - \frac{5 + 37}{2}, sin (x) = \frac{37 - 5}{2}

sin (x) = - \frac{5 + 37}{2} :

Sin solución

sin (x) = - \frac{5 + 37}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = \frac{37 - 5}{2} : x = arcsin (\frac{37 - 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{37 - 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{37 - 5}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{37 - 5}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{37 - 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{37 - 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{37 - 5}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{37 - 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{37 - 5}{2}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (\frac{37 - 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{37 - 5}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.57207 \dots + 2 πn, x = π - 0.57207 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan^3(3x)-2sin^3(3x)=0

cot^5(x)=(-1)/((sqrt(3)))

2cos^4(x)cos(x)-cos^5(x)=1

cos^4(x)-2sin^2(x)-1=0

d^2(1+cos(x))-(1+cos(x))^2=sin^2(x)