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Beliebt Trigonometrie >

2sec^2(x)+4tan(x)=1

Lösung

2 sec^{2} (x) + 4 tan (x) = 1

Lösung

x = - 0.28492 \dots + πn, x = - 1.04089 \dots + πn

Grad

x = - 16.32494 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 59.63880 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sec^{2} (x) + 4 tan (x) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 sec^{2} (x) + 4 tan (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + 2 sec^{2} (x) + 4 tan (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= - 1 + 2 (tan^{2} (x) + 1) + 4 tan (x)

Vereinfache

- 1 + 2 (tan^{2} (x) + 1) + 4 tan (x) : 2 tan^{2} (x) + 4 tan (x) + 1

- 1 + 2 (tan^{2} (x) + 1) + 4 tan (x)

Multipliziere aus

2 (tan^{2} (x) + 1) : 2 tan^{2} (x) + 2

2 (tan^{2} (x) + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = tan^{2} (x), c = 1

= 2 tan^{2} (x) + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 tan^{2} (x) + 2

= - 1 + 2 tan^{2} (x) + 2 + 4 tan (x)

Vereinfache

- 1 + 2 tan^{2} (x) + 2 + 4 tan (x) : 2 tan^{2} (x) + 4 tan (x) + 1

- 1 + 2 tan^{2} (x) + 2 + 4 tan (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 tan^{2} (x) + 4 tan (x) - 1 + 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 2 = 1

= 2 tan^{2} (x) + 4 tan (x) + 1

= 2 tan^{2} (x) + 4 tan (x) + 1

= 2 tan^{2} (x) + 4 tan (x) + 1

1 + 2 tan^{2} (x) + 4 tan (x) = 0

Löse mit Substitution

1 + 2 tan^{2} (x) + 4 tan (x) = 0

Angenommen:

tan (x) = u

1 + 2 u^{2} + 4 u = 0

1 + 2 u^{2} + 4 u = 0 : u = \frac{- 2 + 2}{2}, u = - \frac{2 + 2}{2}

1 + 2 u^{2} + 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 4 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 4 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 22

4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 4^{2} - 8

4^{2} = 16

= 16 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 8 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 2 2}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 2 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 4 - 2 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 4 + 2 2}{2 \cdot 2} : \frac{- 2 + 2}{2}

\frac{- 4 + 2 2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4 + 2 2}{4}

Faktorisiere

- 4 + 22 : 2 (- 2 + 2)

- 4 + 22

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 2 + 2)

= \frac{2 ( - 2 + 2 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 2 + 2}{2}

u = \frac{- 4 - 2 2}{2 \cdot 2} : - \frac{2 + 2}{2}

\frac{- 4 - 2 2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4 - 2 2}{4}

Faktorisiere

- 4 - 22 : - 2 (2 + 2)

- 4 - 22

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 - 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (2 + 2)

= - \frac{2 ( 2 + 2 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{2 + 2}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 2 + 2}{2}, u = - \frac{2 + 2}{2}

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = \frac{- 2 + 2}{2}, tan (x) = - \frac{2 + 2}{2}

tan (x) = \frac{- 2 + 2}{2}, tan (x) = - \frac{2 + 2}{2}

tan (x) = \frac{- 2 + 2}{2} : x = arctan (\frac{- 2 + 2}{2}) + πn

tan (x) = \frac{- 2 + 2}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = \frac{- 2 + 2}{2}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = \frac{- 2 + 2}{2}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (\frac{- 2 + 2}{2}) + πn

x = arctan (\frac{- 2 + 2}{2}) + πn

tan (x) = - \frac{2 + 2}{2} : x = arctan (- \frac{2 + 2}{2}) + πn

tan (x) = - \frac{2 + 2}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = - \frac{2 + 2}{2}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - \frac{2 + 2}{2}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- \frac{2 + 2}{2}) + πn

x = arctan (- \frac{2 + 2}{2}) + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arctan (\frac{- 2 + 2}{2}) + πn, x = arctan (- \frac{2 + 2}{2}) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.28492 \dots + πn, x = - 1.04089 \dots + πn

Graph

Beliebte Beispiele

8sin((3.14)/(4*x))=7

8 sin (\frac{3.14}{4 \cdot x}) = 7

cos(3x)-21cos(x)+16=0

cos (3 x) - 21 cos (x) + 16 = 0

sin^5(x)-sin(x)=0

sin^{5} (x) - sin (x) = 0

tan(x)=(95.75)/4

tan (x) = \frac{95.75}{4}

5cos^2(x)=4

5 cos^{2} (x) = 4