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Beliebt Trigonometrie >

cos(3x)-21cos(x)+16=0

Lösung

cos (3 x) - 21 cos (x) + 16 = 0

Lösung

x = 0.74946 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.74946 \dots + 2 πn

Grad

x = 42.94140 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 317.05859 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (3 x) - 21 cos (x) + 16 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

16 + cos (3 x) - 21 cos (x)

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

cos (3 x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (3 x)

Schreibe um

= cos (2 x + x)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

Vereinfache

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Multipliziere aus

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

= cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) - 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= cos (x) 2 cos^{2} (x) - cos (x) 1

= 2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

Vereinfache

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 cos (x)

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Multipliziere aus

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) 1 - (- 2 cos (x)) cos^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

Vereinfache

- 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 cos (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Vereinfache

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) = 4 cos^{3} (x)

= 4 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

- cos (x) - 2 cos (x) = - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 16 + 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) - 21 cos (x)

Vereinfache

= 16 + 4 cos^{3} (x) - 24 cos (x)

16 - 24 cos (x) + 4 cos^{3} (x) = 0

Löse mit Substitution

16 - 24 cos (x) + 4 cos^{3} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0 : u = 2, u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

4 u^{3} - 24 u + 16 = 0

Faktorisiere

4 u^{3} - 24 u + 16 : 4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

4 u^{3} - 24 u + 16

Klammere gleiche Terme aus

4 : 4 (u^{3} - 6 u + 4)

4 u^{3} - 24 u + 16

Schreibe

16

um:

4 \cdot 4

Schreibe

24

um:

4 \cdot 6

= 4 u^{3} - 4 \cdot 6 u + 4 \cdot 4

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (u^{3} - 6 u + 4)

= 4 (u^{3} - 6 u + 4)

Faktorisiere

u^{3} - 6 u + 4 : (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

u^{3} - 6 u + 4

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 4, a_{n} = 1

Die Teiler von

a_{0} : 1, 2, 4,

Die Teiler von

a_{n} : 1

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1 , 2 , 4}{1}

\frac{2}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u - 2

= (u - 2) \frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2}

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + 2 u - 2

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2}

Dividiere

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} : \frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u^{3} - 6 u + 4

und des Teilers

u - 2 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quotient = u^{2}

Multipliziere

u - 2

mit

u^{2} : u^{3} - 2 u^{2}

Substrahiere

u^{3} - 2 u^{2}

von

u^{3} - 6 u + 4

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 2 u^{2} - 6 u + 4

Deshalb

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

= u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

Dividiere

\frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} : \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} = 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{2} - 6 u + 4

und des Teilers

u - 2 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quotient = 2 u

Multipliziere

u - 2

mit

2 u : 2 u^{2} - 4 u

Substrahiere

2 u^{2} - 4 u

von

2 u^{2} - 6 u + 4

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 2 u + 4

Deshalb

\frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} = 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

= u^{2} + 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

Dividiere

\frac{- 2 u + 4}{u - 2} : \frac{- 2 u + 4}{u - 2} = - 2

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 2 u + 4

und des Teilers

u - 2 : \frac{- 2 u}{u} = - 2

Quotient = - 2

Multipliziere

u - 2

mit

- 2 : - 2 u + 4

Substrahiere

- 2 u + 4

von

- 2 u + 4

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{- 2 u + 4}{u - 2} = - 2

= u^{2} + 2 u - 2

= u^{2} + 2 u - 2

= (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

= 4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 2 = 0 or u^{2} + 2 u - 2 = 0

Löse

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

u = 2

u = 2

Löse

u^{2} + 2 u - 2 = 0 : u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

u^{2} + 2 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + 2 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 23

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Addiere die Zahlen:

4 + 8 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1} : - 1 + 3

\frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 3}{2}

Faktorisiere

- 2 + 23 : 2 (- 1 + 3)

- 2 + 23

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 3)

= \frac{2 ( - 1 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 3

u = \frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 1 - 3

\frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 3}{2}

Faktorisiere

- 2 - 23 : - 2 (1 + 3)

- 2 - 23

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + 3)

= - \frac{2 ( 1 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + 3)

Negiere die Vorzeichen

- (1 + 3) = - 1 - 3

= - 1 - 3

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

Die Lösungen sind

u = 2, u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 2, cos (x) = - 1 + 3, cos (x) = - 1 - 3

cos (x) = 2, cos (x) = - 1 + 3, cos (x) = - 1 - 3

cos (x) = 2 :

Keine Lösung

cos (x) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - 1 + 3 : x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

cos (x) = - 1 + 3

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - 1 + 3

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1 + 3

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

cos (x) = - 1 - 3 :

Keine Lösung

cos (x) = - 1 - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.74946 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.74946 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin^5(x)-sin(x)=0

sin^{5} (x) - sin (x) = 0

tan(x)=(95.75)/4

tan (x) = \frac{95.75}{4}

5cos^2(x)=4

5 cos^{2} (x) = 4

cos(x-15^0)=((sqrt(2)))/2

cos (x - 1 5^{0}) = \frac{( 2 )}{2}

sin(x)=1-cos^x(x)

sin (x) = 1 - cos^{x} (x)