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Beliebt Trigonometrie >

4cosh(2x)=4+sinh(2x)

Lösung

4 cosh (2 x) = 4 + sinh (2 x)

Lösung

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}), x = 0

Grad

x = 14.63407 \dots^{\circ}, x = 0^{\circ}

Schritte zur Lösung

4 cosh (2 x) = 4 + sinh (2 x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

4 cosh (2 x) = 4 + sinh (2 x)

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

4 cosh (2 x) = 4 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2}

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} : x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}), x = 0

4 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

4 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} \cdot 2

Vereinfache

4 (e^{2 x} + e^{- 2 x}) = 8 + e^{2 x} - e^{- 2 x}

Wende Exponentenregel an

4 (e^{2 x} + e^{- 2 x}) = 8 + e^{2 x} - e^{- 2 x}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}

4 ((e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2}) = 8 + (e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2}

4 ((e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2}) = 8 + (e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2}

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

4 ((u)^{2} + (u)^{- 2}) = 8 + (u)^{2} - (u)^{- 2}

Löse

4 (u^{2} + u^{- 2}) = 8 + u^{2} - u^{- 2} : u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

4 (u^{2} + u^{- 2}) = 8 + u^{2} - u^{- 2}

Fasse zusammen

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) = 8 + u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) = 8 + u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} = 8 u^{2} + u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Vereinfache

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} = 8 u^{2} + u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Vereinfache

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Vereinfache

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2} : - 1

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u^{2}

= - 1

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} = 8 u^{2} + u^{4} - 1

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} = 8 u^{2} + u^{4} - 1

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} = 8 u^{2} + u^{4} - 1

Schreibe

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2}

um:

4 u^{4} + 4

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2}

= 4 u^{2} (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 4 u^{2}, b = u^{2}, c = \frac{1}{u ^{2}}

= 4 u^{2} u^{2} + 4 u^{2} \frac{1}{u ^{2}}

= 4 u^{2} u^{2} + 4 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Vereinfache

4 u^{2} u^{2} + 4 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 4 u^{4} + 4

4 u^{2} u^{2} + 4 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

4 u^{2} u^{2} = 4 u^{4}

4 u^{2} u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= 4 u^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= 4 u^{4}

4 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 4

4 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 u ^{2}}{u ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u^{2}

= 1 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 4

= 4 u^{4} + 4

= 4 u^{4} + 4

4 u^{4} + 4 = 8 u^{2} + u^{4} - 1

Verschiebe

1

auf die linke Seite

4 u^{4} + 4 = 8 u^{2} + u^{4} - 1

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

4 u^{4} + 4 + 1 = 8 u^{2} + u^{4} - 1 + 1

Vereinfache

4 u^{4} + 5 = 8 u^{2} + u^{4}

4 u^{4} + 5 = 8 u^{2} + u^{4}

Löse

4 u^{4} + 5 = 8 u^{2} + u^{4} : u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

4 u^{4} + 5 = 8 u^{2} + u^{4}

Verschiebe

u^{4}

auf die linke Seite

4 u^{4} + 5 = 8 u^{2} + u^{4}

Subtrahiere

u^{4}

von beiden Seiten

4 u^{4} + 5 - u^{4} = 8 u^{2} + u^{4} - u^{4}

Vereinfache

3 u^{4} + 5 = 8 u^{2}

3 u^{4} + 5 = 8 u^{2}

Verschiebe

8 u^{2}

auf die linke Seite

3 u^{4} + 5 = 8 u^{2}

Subtrahiere

8 u^{2}

von beiden Seiten

3 u^{4} + 5 - 8 u^{2} = 8 u^{2} - 8 u^{2}

Vereinfache

3 u^{4} + 5 - 8 u^{2} = 0

3 u^{4} + 5 - 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

3 u^{4} - 8 u^{2} + 5 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

3 v^{2} - 8 v + 5 = 0

Löse

3 v^{2} - 8 v + 5 = 0 : v = \frac{5}{3}, v = 1

3 v^{2} - 8 v + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 v^{2} - 8 v + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 8, c = 5

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 3}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 3}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 2

(- 8)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 5 = 60

= 8^{2} - 60

8^{2} = 64

= 64 - 60

Subtrahiere die Zahlen:

64 - 60 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 2}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 2}{2 \cdot 3}, v_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 2}{2 \cdot 3}

v = \frac{- ( - 8 ) + 2}{2 \cdot 3} : \frac{5}{3}

\frac{- ( - 8 ) + 2}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 + 2}{2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

8 + 2 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{10}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5}{3}

v = \frac{- ( - 8 ) - 2}{2 \cdot 3} : 1

\frac{- ( - 8 ) - 2}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 - 2}{2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 2 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6}{6}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = \frac{5}{3}, v = 1

v = \frac{5}{3}, v = 1

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = \frac{5}{3} : u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}

u^{2} = \frac{5}{3}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}

Löse

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Die Lösungen sind

u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

4 (u^{2} + u^{- 2})

und vergleiche mit Null

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Nimm den/die Nenner von

8 + u^{2} - u^{- 2}

und vergleiche mit Null

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = \frac{5}{3} : x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})

e^{x} = \frac{5}{3}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = \frac{5}{3}

Wende Exponentenregel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

\frac{5}{3} = (\frac{5}{3})^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (\frac{5}{3})^{\frac{1}{2}}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln ((\frac{5}{3})^{\frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln ((\frac{5}{3})^{\frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln ((\frac{5}{3})^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})

Löse

e^{x} = - \frac{5}{3} :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - \frac{5}{3}

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Löse

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 1

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Vereinfache

ln (1) : 0

ln (1)

Wende die log Regel an:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Löse

e^{x} = - 1 :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}), x = 0

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}), x = 0

Graph

Beliebte Beispiele

|sin(x)|=sin(x)+2

∣ sin (x) ∣ = sin (x) + 2

sin(a)=0.2315

sin (a) = 0.2315

(1(cos^2(x)))/((1-sin^2(x)))=0

\frac{1 ( cos ^{2} ( x ) )}{( 1 - sin ^{2} ( x ) )} = 0

sin(x)sin^3(x)-sin^5(x)sin^3(x)=0

sin (x) sin^{3} (x) - sin^{5} (x) sin^{3} (x) = 0

5sin^2(x)=2sin(x)

5 sin^{2} (x) = 2 sin (x)