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Popular Trigonometría >

4cosh(2x)=4+sinh(2x)

Solución

4 cosh (2 x) = 4 + sinh (2 x)

Solución

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}), x = 0

Grados

x = 14.63407 \dots^{\circ}, x = 0^{\circ}

Pasos de solución

4 cosh (2 x) = 4 + sinh (2 x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

4 cosh (2 x) = 4 + sinh (2 x)

Utilizar la identidad hiperbólica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

4 cosh (2 x) = 4 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2}

Utilizar la identidad hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} : x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}), x = 0

4 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2}

Multiplicar ambos lados por

2

4 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2 + \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} \cdot 2

Simplificar

4 (e^{2 x} + e^{- 2 x}) = 8 + e^{2 x} - e^{- 2 x}

Aplicar las leyes de los exponentes

4 (e^{2 x} + e^{- 2 x}) = 8 + e^{2 x} - e^{- 2 x}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}

4 ((e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2}) = 8 + (e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2}

4 ((e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2}) = 8 + (e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2}

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

4 ((u)^{2} + (u)^{- 2}) = 8 + (u)^{2} - (u)^{- 2}

Resolver

4 (u^{2} + u^{- 2}) = 8 + u^{2} - u^{- 2} : u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

4 (u^{2} + u^{- 2}) = 8 + u^{2} - u^{- 2}

Simplificar

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) = 8 + u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}

Multiplicar ambos lados por

u^{2}

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) = 8 + u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}

Multiplicar ambos lados por

u^{2}

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} = 8 u^{2} + u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Simplificar

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} = 8 u^{2} + u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Simplificar

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Simplificar

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2} : - 1

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

u^{2}

= - 1

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} = 8 u^{2} + u^{4} - 1

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} = 8 u^{2} + u^{4} - 1

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} = 8 u^{2} + u^{4} - 1

Desarrollar

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} : 4 u^{4} + 4

4 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2}

= 4 u^{2} (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 4 u^{2}, b = u^{2}, c = \frac{1}{u ^{2}}

= 4 u^{2} u^{2} + 4 u^{2} \frac{1}{u ^{2}}

= 4 u^{2} u^{2} + 4 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Simplificar

4 u^{2} u^{2} + 4 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 4 u^{4} + 4

4 u^{2} u^{2} + 4 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

4 u^{2} u^{2} = 4 u^{4}

4 u^{2} u^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= 4 u^{2 + 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= 4 u^{4}

4 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 4

4 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

u^{2}

= 1 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= 4

= 4 u^{4} + 4

= 4 u^{4} + 4

4 u^{4} + 4 = 8 u^{2} + u^{4} - 1

Desplace

1

a la izquierda

4 u^{4} + 4 = 8 u^{2} + u^{4} - 1

Sumar

1

a ambos lados

4 u^{4} + 4 + 1 = 8 u^{2} + u^{4} - 1 + 1

Simplificar

4 u^{4} + 5 = 8 u^{2} + u^{4}

4 u^{4} + 5 = 8 u^{2} + u^{4}

Resolver

4 u^{4} + 5 = 8 u^{2} + u^{4} : u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

4 u^{4} + 5 = 8 u^{2} + u^{4}

Desplace

u^{4}

a la izquierda

4 u^{4} + 5 = 8 u^{2} + u^{4}

Restar

u^{4}

de ambos lados

4 u^{4} + 5 - u^{4} = 8 u^{2} + u^{4} - u^{4}

Simplificar

3 u^{4} + 5 = 8 u^{2}

3 u^{4} + 5 = 8 u^{2}

Desplace

8 u^{2}

a la izquierda

3 u^{4} + 5 = 8 u^{2}

Restar

8 u^{2}

de ambos lados

3 u^{4} + 5 - 8 u^{2} = 8 u^{2} - 8 u^{2}

Simplificar

3 u^{4} + 5 - 8 u^{2} = 0

3 u^{4} + 5 - 8 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

3 u^{4} - 8 u^{2} + 5 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

3 v^{2} - 8 v + 5 = 0

Resolver

3 v^{2} - 8 v + 5 = 0 : v = \frac{5}{3}, v = 1

3 v^{2} - 8 v + 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

3 v^{2} - 8 v + 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 3, b = - 8, c = 5

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 3}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 3}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 2

(- 8)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 5 = 60

= 8^{2} - 60

8^{2} = 64

= 64 - 60

Restar:

64 - 60 = 4

= 4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 2}{2 \cdot 3}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 2}{2 \cdot 3}, v_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 2}{2 \cdot 3}

v = \frac{- ( - 8 ) + 2}{2 \cdot 3} : \frac{5}{3}

\frac{- ( - 8 ) + 2}{2 \cdot 3}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{8 + 2}{2 \cdot 3}

Sumar:

8 + 2 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{10}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{5}{3}

v = \frac{- ( - 8 ) - 2}{2 \cdot 3} : 1

\frac{- ( - 8 ) - 2}{2 \cdot 3}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{8 - 2}{2 \cdot 3}

Restar:

8 - 2 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6}{6}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = \frac{5}{3}, v = 1

v = \frac{5}{3}, v = 1

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = \frac{5}{3} : u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}

u^{2} = \frac{5}{3}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}

Resolver

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Las soluciones son

u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

4 (u^{2} + u^{- 2})

y comparar con cero

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

8 + u^{2} - u^{- 2}

y comparar con cero

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

u = \frac{5}{3}, u = - \frac{5}{3}, u = 1, u = - 1

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

e^{x} = \frac{5}{3} : x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})

e^{x} = \frac{5}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = \frac{5}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

\frac{5}{3} = (\frac{5}{3})^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (\frac{5}{3})^{\frac{1}{2}}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln ((\frac{5}{3})^{\frac{1}{2}})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln ((\frac{5}{3})^{\frac{1}{2}})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln ((\frac{5}{3})^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})

Resolver

e^{x} = - \frac{5}{3} :

Sin solución para

x \in R

e^{x} = - \frac{5}{3}

a^{f (x)}

no puede ser cero o negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Resolver

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Simplificar

ln (1) : 0

ln (1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Resolver

e^{x} = - 1 :

Sin solución para

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

no puede ser cero o negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}), x = 0

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}), x = 0

Gráfica

Ejemplos populares

|sin(x)|=sin(x)+2

sin(a)=0.2315

(1(cos^2(x)))/((1-sin^2(x)))=0

sin(x)sin^3(x)-sin^5(x)sin^3(x)=0

5sin^2(x)=2sin(x)