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Beliebt Trigonometrie >

sinh(x)+4=4cosh(x)

Lösung

sinh (x) + 4 = 4 cosh (x)

Lösung

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

Grad

x = 0^{\circ}, x = 29.26815 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

sinh (x) + 4 = 4 cosh (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sinh (x) + 4 = 4 cosh (x)

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 4 = 4 cosh (x)

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 4 = 4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 4 = 4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 4 = 4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} : x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 4 = 4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2

Vereinfache

e^{x} - e^{- x} + 8 = 4 (e^{x} + e^{- x})

Wende Exponentenregel an

e^{x} - e^{- x} + 8 = 4 (e^{x} + e^{- x})

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} - (e^{x})^{- 1} + 8 = 4 (e^{x} + (e^{x})^{- 1})

e^{x} - (e^{x})^{- 1} + 8 = 4 (e^{x} + (e^{x})^{- 1})

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

u - (u)^{- 1} + 8 = 4 (u + (u)^{- 1})

Löse

u - u^{- 1} + 8 = 4 (u + u^{- 1}) : u = 1, u = \frac{5}{3}

u - u^{- 1} + 8 = 4 (u + u^{- 1})

Fasse zusammen

u - \frac{1}{u} + 8 = 4 (u + \frac{1}{u})

Multipliziere beide Seiten mit

u

u - \frac{1}{u} + 8 = 4 (u + \frac{1}{u})

Multipliziere beide Seiten mit

u

uu - \frac{1}{u} u + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

Vereinfache

uu - \frac{1}{u} u + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 1

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

Schreibe

4 (u + \frac{1}{u}) u

um:

4 u^{2} + 4

4 (u + \frac{1}{u}) u

= 4 u (u + \frac{1}{u})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 4 u, b = u, c = \frac{1}{u}

= 4 uu + 4 u \frac{1}{u}

= 4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u

Vereinfache

4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u : 4 u^{2} + 4

4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u

4 uu = 4 u^{2}

4 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

4 \cdot \frac{1}{u} u = 4

4 \cdot \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 4

= 4 u^{2} + 4

= 4 u^{2} + 4

u^{2} - 1 + 8 u = 4 u^{2} + 4

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u^{2} - 1 + 8 u = 4 u^{2} + 4

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u^{2} - 1 + 8 u + 1 = 4 u^{2} + 4 + 1

Vereinfache

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

Löse

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5 : u = 1, u = \frac{5}{3}

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

Verschiebe

5

auf die linke Seite

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

Subtrahiere

5

von beiden Seiten

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2} + 5 - 5

Vereinfache

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

Verschiebe

4 u^{2}

auf die linke Seite

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

Subtrahiere

4 u^{2}

von beiden Seiten

u^{2} + 8 u - 5 - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 4 u^{2}

Vereinfache

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 3, b = 8, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 5 )}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 5 )}{2 ( - 3 )}

8^{2} - 4 (- 3) (- 5) = 2

8^{2} - 4 (- 3) (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 5 = 60

= 8^{2} - 60

8^{2} = 64

= 64 - 60

Subtrahiere die Zahlen:

64 - 60 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 2}{2 ( - 3 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )} : 1

\frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 2}{- 2 \cdot 3}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 8 + 2 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{6}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )} : \frac{5}{3}

\frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 2}{- 2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

- 8 - 2 = - 10

= \frac{- 10}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 10}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{10}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = \frac{5}{3}

u = 1, u = \frac{5}{3}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u - u^{- 1} + 8

und vergleiche mit Null

u = 0

Nimm den/die Nenner von

4 (u + u^{- 1})

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 1, u = \frac{5}{3}

u = 1, u = \frac{5}{3}

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 1

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Vereinfache

ln (1) : 0

ln (1)

Wende die log Regel an:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Löse

e^{x} = \frac{5}{3} : x = ln (\frac{5}{3})

e^{x} = \frac{5}{3}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = \frac{5}{3}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5}{3})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5}{3})

x = ln (\frac{5}{3})

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

Graph

Beliebte Beispiele

sin(18x)=-1

sin (18 x) = - 1

solvefor x,y+sin(xy)=1

so l v e f or x, y + sin (x y) = 1

(sec^2(+1))(sec^2(-1))=tan(x)

(sec^{2} (+ 1)) (sec^{2} (- 1)) = tan (x)

2cos^2(x)-8cos(x)=2sin^2(x)-5

2 cos^{2} (x) - 8 cos (x) = 2 sin^{2} (x) - 5

2cos^2(a)tan(a)=tan(a)

2 cos^{2} (a) tan (a) = tan (a)