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tan((5pi)/6-(5pi)/4)

Solução

tan (\frac{5 π}{6} - \frac{5 π}{4})

Solução

- 2 - 3

Decimal

- 3.73205 \dots

Passos da solução

tan (\frac{5 π}{6} - \frac{5 π}{4})

Simplificar:

\frac{5 π}{6} - \frac{5 π}{4} = - \frac{5 π}{12}

\frac{5 π}{6} - \frac{5 π}{4}

Mínimo múltiplo comum de

6, 4 : 12

6, 4

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 3

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

6

ou em

4

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{5 π}{6} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

\frac{5 π}{6} = \frac{5 π 2}{6 \cdot 2} = \frac{10 π}{12}

Para

\frac{5 π}{4} :

multiplique o numerador e o denominador por

3

\frac{5 π}{4} = \frac{5 π 3}{4 \cdot 3} = \frac{15 π}{12}

= \frac{10 π}{12} - \frac{15 π}{12}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{10 π - 15 π}{12}

Somar elementos similares:

10 π - 15 π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{12}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{12}

= tan (- \frac{5 π}{12})

Utilizar a seguinte propriedade:

tan (- x) = - tan (x)

tan (- \frac{5 π}{12}) = - tan (\frac{5 π}{12})

= - tan (\frac{5 π}{12})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

tan (\frac{5 π}{12}) = 2 + 3

tan (\frac{5 π}{12})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

\frac{tan ( \frac{π}{4} ) + tan ( \frac{π}{6} )}{1 - tan ( \frac{π}{4} ) tan ( \frac{π}{6} )}

tan (\frac{5 π}{12})

Escrever

tan (\frac{5 π}{12})

como

tan (\frac{π}{4} + \frac{π}{6})

= tan (\frac{π}{4} + \frac{π}{6})

Use a identidade de soma de ângulos:

tan (s + t) = \frac{tan ( s ) + tan ( t )}{1 - tan ( s ) tan ( t )}

= \frac{tan ( \frac{π}{4} ) + tan ( \frac{π}{6} )}{1 - tan ( \frac{π}{4} ) tan ( \frac{π}{6} )}

= \frac{tan ( \frac{π}{4} ) + tan ( \frac{π}{6} )}{1 - tan ( \frac{π}{4} ) tan ( \frac{π}{6} )}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

Utilizar a seguinte identidade trivial:

tan (\frac{π}{6}) = \frac{3}{3}

tan (\frac{π}{6})

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

= \frac{1 + \frac{3}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{3}{3}}

Simplificar

\frac{1 + \frac{3}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{3}{3}} : 2 + 3

\frac{1 + \frac{3}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{3}{3}}

Multiplicar:

1 \cdot \frac{3}{3} = \frac{3}{3}

= \frac{1 + \frac{3}{3}}{1 - \frac{3}{3}}

Simplificar

1 - \frac{3}{3}

em uma fração:

\frac{3 - 1}{3}

1 - \frac{3}{3}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3} - \frac{3}{3}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 3 - 3}{3}

Multiplicar os números:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3 - 3}{3}

Fatorar

3 - 3 : 3 (3 - 1)

3 - 3

3 = 33

= 33 - 3

Fatorar o termo comum

3

= 3 (3 - 1)

= \frac{3 ( 3 - 1 )}{3}

Cancelar

\frac{3 ( 3 - 1 )}{3} : \frac{3 - 1}{3}

\frac{3 ( 3 - 1 )}{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{3 ^{\frac{1}{2}} ( 3 - 1 )}{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{3 - 1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Subtrair:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{3 - 1}{3 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{3 - 1}{3}

= \frac{3 - 1}{3}

= \frac{1 + \frac{3}{3}}{\frac{3 - 1}{3}}

Simplificar

1 + \frac{3}{3}

em uma fração:

\frac{3 + 1}{3}

1 + \frac{3}{3}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 3 + 3}{3}

Multiplicar os números:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3 + 3}{3}

Fatorar

3 + 3 : 3 (3 + 1)

3 + 3

3 = 33

= 33 + 3

Fatorar o termo comum

3

= 3 (3 + 1)

= \frac{3 ( 3 + 1 )}{3}

Cancelar

\frac{3 ( 3 + 1 )}{3} : \frac{3 + 1}{3}

\frac{3 ( 3 + 1 )}{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{3 ^{\frac{1}{2}} ( 1 + 3 )}{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{3 + 1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Subtrair:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{3 + 1}{3 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{3 + 1}{3}

= \frac{3 + 1}{3}

= \frac{\frac{3 + 1}{3}}{\frac{3 - 1}{3}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 3 + 1 ) 3}{3 ( 3 - 1 )}

Eliminar o fator comum:

3

= \frac{3 + 1}{3 - 1}

Racionalizar

\frac{3 + 1}{3 - 1} : 2 + 3

\frac{3 + 1}{3 - 1}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{3 + 1}{3 + 1}

= \frac{( 3 + 1 ) ( 3 + 1 )}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )}

(3 + 1) (3 + 1) = 4 + 23

(3 + 1) (3 + 1)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

(3 + 1) (3 + 1) = (3 + 1)^{1 + 1}

= (3 + 1)^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= (3 + 1)^{2}

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 3, b = 1

= (3)^{2} + 23 \cdot 1 + 1^{2}

Simplificar

(3)^{2} + 23 \cdot 1 + 1^{2} : 4 + 23

(3)^{2} + 23 \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (3)^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 3 + 1

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 3

23 \cdot 1 = 23

23 \cdot 1

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 23

= 3 + 23 + 1

Somar:

3 + 1 = 4

= 4 + 23

= 4 + 23

(3 - 1) (3 + 1) = 2

(3 - 1) (3 + 1)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 3, b = 1

= (3)^{2} - 1^{2}

Simplificar

(3)^{2} - 1^{2} : 2

(3)^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (3)^{2} - 1

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 3

= 3 - 1

Subtrair:

3 - 1 = 2

= 2

= 2

= \frac{4 + 2 3}{2}

Fatorar

4 + 23 : 2 (2 + 3)

4 + 23

Reescrever como

= 2 \cdot 2 + 23

Fatorar o termo comum

2

= 2 (2 + 3)

= \frac{2 ( 2 + 3 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 2 + 3

= 2 + 3

= 2 + 3

= - (2 + 3)

Simplificar

= - 2 - 3

Exemplos populares