integral of (cos(x))/(1+tan(x))

Lösung

\int \frac{cos ( x )}{1 + tan ( x )} d x

\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} - 1) + sin (x) + cos (x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cos ( x )}{1 + tan ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 + cos ( 2 x )}{2 ( cos ( x ) + sin ( x ) )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 x )}{cos ( x ) + sin ( x )} d x

Multipliziere aus

\frac{1 + cos ( 2 x )}{cos ( x ) + sin ( x )} : \frac{1}{cos ( x ) + sin ( x )} + \frac{cos ( 2 x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int \frac{1}{cos ( x ) + sin ( x )} d x + \int \frac{cos ( 2 x )}{cos ( x ) + sin ( x )} d x)

\int \frac{1}{cos ( x ) + sin ( x )} d x = 2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} - 1)

\int \frac{cos ( 2 x )}{cos ( x ) + sin ( x )} d x = sin (x) + cos (x)

= \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} - 1) + sin (x) + cos (x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} - 1) + sin (x) + cos (x)) + C

\int (5 - 6 x) d x

\int e^{\frac{- y}{x}} d y

\int 5 x x d x

\int \frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}} + \frac{3}{x ^{3}} d x

\int 4 sin^{4} (x) cos (x) d x