integral of 1/(sqrt(x+\sqrt{x))}

Lösung

\int \frac{1}{x + x} d x

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x + x} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2 u}{u ^{2} + u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + u} d u

Faktorisiere

\frac{u}{u ^{2} + u}

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ( u + 1 )} d u

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

u (u + 1) = u (u + 1)

= 2 \cdot \int \frac{u}{u u + 1} d u

Vereinfache

\frac{u}{u u + 1} : \frac{u}{u + 1}

= 2 \cdot \int \frac{u}{u + 1} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{v - 1}{v} d v

Wende die partielle Integration an

= 2 (\frac{v - 1}{v} v - \int \frac{1}{2 v ^{\frac{1}{2}} v - 1} d v)

\int \frac{1}{2 v ^{\frac{1}{2}} v - 1} d v = ln v + v - 1

= 2 (\frac{v - 1}{v} v - ln v + v - 1)

Ersetze zurück

= 2 (\frac{x + 1 - 1}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + x + 1 - 1)

Vereinfache

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu