интеграл от 1/(sqrt(x+\sqrt{x))}

Решение

\int \frac{1}{x + x} d x

2 (\frac{x}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + 4 x) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{x + x} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{2 u}{u ^{2} + u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + u} d u

коэффициент

\frac{u}{u ^{2} + u}

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ( u + 1 )} d u

Примените правило возведения в степень:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

u (u + 1) = u (u + 1)

= 2 \cdot \int \frac{u}{u u + 1} d u

Упростить

\frac{u}{u u + 1} : \frac{u}{u + 1}

= 2 \cdot \int \frac{u}{u + 1} d u

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \int \frac{v - 1}{v} d v

Применить интегрирование по частям

= 2 (\frac{v - 1}{v} v - \int \frac{1}{2 v ^{\frac{1}{2}} v - 1} d v)

\int \frac{1}{2 v ^{\frac{1}{2}} v - 1} d v = ln v + v - 1

= 2 (\frac{v - 1}{v} v - ln v + v - 1)

Делаем обратную замену

= 2 (\frac{x + 1 - 1}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + x + 1 - 1)

Упростите

2 (\frac{x + 1 - 1}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + x + 1 - 1) : 2 (\frac{x}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + 4 x)

= 2 (\frac{x}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + 4 x)

Добавить константу к решению

= 2 (\frac{x}{x + 1} (x + 1) - ln x + 1 + 4 x) + C