integral of 1/((x^2+6x+10)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 6 x + 10 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x + 3}{( x ^{2} + 6 x + 10 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 6 x + 10 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 6 x + 10 : (x + 3)^{2} + 1

= \int \frac{1}{( ( x + 3 ) ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int cos (v) d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (v) d v = sin (v)

= sin (v)

Ersetze zurück

= sin (arctan (x + 3))

Vereinfache

sin (arctan (x + 3)) : \frac{x + 3}{( x ^{2} + 6 x + 10 ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x + 3}{( x ^{2} + 6 x + 10 ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x + 3}{( x ^{2} + 6 x + 10 ) ^{\frac{1}{2}}} + C