integral of 1/(x^3sqrt(x^2-a^2))

Lösung

\int \frac{1}{x ^{3} x ^{2} - a ^{2}} d x

\frac{1}{2 a ^{3}} (arcsec (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{x}{a}))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{3} x ^{2} - a ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{a ^{3} sec ^{2} ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \int \frac{1}{sec ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsec (\frac{1}{a} x)

ein

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (arcsec (\frac{1}{a} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{1}{a} x)))

Vereinfache

\frac{1}{a ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (arcsec (\frac{1}{a} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{1}{a} x))) : \frac{1}{2 a ^{3}} (arcsec (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{x}{a})))

= \frac{1}{2 a ^{3}} (arcsec (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{x}{a})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2 a ^{3}} (arcsec (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{x}{a}))) + C

\int 150 x d x

\int sin (41 x) sin (cos (41 x)) d x

\int \frac{1}{5 x + 9} d x

\int (x^{8} - 2 x^{4})^{3} (x^{7} - x^{3}) d x

\int \frac{1}{( 64 x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x