integral from 1 to x of x^5e^{-2x}

解

\int_{1}^{x} x^{5} e^{- 2 x} d x

- \frac{e ^{- 2 x} x ^{5}}{2} - \frac{5 e ^{- 2 x} ( 2 x ^{4} + 4 x ^{3} + 3 ( 2 x ^{2} + 2 x + 1 ) )}{8} + \frac{109}{8 e ^{2}}

解答ステップ

\int_{1}^{x} x^{5} e^{- 2 x} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{- 2}^{- 2 x} \frac{e ^{u} u ^{5}}{64} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{64} \cdot \int_{- 2}^{- 2 x} e^{u} u^{5} d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{64} [u^{5} e^{u} - \int 5 u^{4} e^{u} d u]_{- 2}^{- 2 x}

\int 5 u^{4} e^{u} d u = 5 (u^{4} e^{u} - 4 (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))))

= \frac{1}{64} [u^{5} e^{u} - 5 (u^{4} e^{u} - 4 (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))))]_{- 2}^{- 2 x}

限度を計算する:

- 32 e^{- 2 x} x^{5} - 5 (16 e^{- 2 x} x^{4} - 4 (- 8 e^{- 2 x} x^{3} - 3 (4 e^{- 2 x} x^{2} - 2 (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x})))) + \frac{872}{e ^{2}}

= \frac{1}{64} (- 32 e^{- 2 x} x^{5} - 5 (16 e^{- 2 x} x^{4} - 4 (- 8 e^{- 2 x} x^{3} - 3 (4 e^{- 2 x} x^{2} - 2 (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x})))) + \frac{872}{e ^{2}})

簡素化

= - \frac{e ^{- 2 x} x ^{5}}{2} - \frac{5 e ^{- 2 x} ( 2 x ^{4} + 4 x ^{3} + 3 ( 2 x ^{2} + 2 x + 1 ) )}{8} + \frac{109}{8 e ^{2}}