integral (cos^5(x))/(sin(x))

Lösung

integral

\frac{cos ^{5} ( x )}{sin ( x )}

ln ∣ sin (x) ∣ - sin^{2} (x) + \frac{sin ^{4} ( x )}{4} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cos ^{5} ( x )}{sin ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{( 1 - sin ^{2} ( x ) ) ^{2} cos ( x )}{sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{( 1 - u ^{2} ) ^{2}}{u} d u

Multipliziere aus

\frac{( 1 - u ^{2} ) ^{2}}{u} : \frac{1}{u} - 2 u + u^{3}

= \int \frac{1}{u} - 2 u + u^{3} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{u} d u - \int 2 u d u + \int u^{3} d u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int 2 u d u = u^{2}

\int u^{3} d u = \frac{u ^{4}}{4}

= ln ∣ u ∣ - u^{2} + \frac{u ^{4}}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

= ln ∣ sin (x) ∣ - sin^{2} (x) + \frac{sin ^{4} ( x )}{4}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln ∣ sin (x) ∣ - sin^{2} (x) + \frac{sin ^{4} ( x )}{4} + C

in t e g r a l x \cdot (x + 5)^{8}

in t e g r a l tan^{3} (2 x + 1)

in t e g r a l \frac{- 1}{x + 1 ^{2}}

in t e g r a l \frac{( x + 1 )}{( x - 1 ) ^{2}}

in t e g r a l sin (- u + 3 t)