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integral 1/((k+e^{-t))}

Lösung

integral

\frac{1}{( k + e ^{- t} )}

Lösung

\frac{1}{k} (ln e^{- t} \frac{2}{k} + 2 - ln (\frac{2}{∣ k ∣}) + t) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{k + e ^{- t}} d t

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{1}{u ( k + u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{u ( k + u )} d u

Vervollständige das Quadrat

u (k + u) : (u + \frac{k}{2})^{2} - \frac{k ^{2}}{4}

= - \int \frac{1}{( u + \frac{k}{2} ) ^{2} - \frac{k ^{2}}{4}} d u

Wende U-Substitution an

= - \int \frac{4}{4 v ^{2} - k ^{2}} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 4 \cdot \int \frac{1}{4 v ^{2} - k ^{2}} d v

Faktorisiere

4 v^{2} - k^{2} : - (- 4 v^{2} + k^{2})

= - 4 \cdot \int \frac{1}{- ( - 4 v ^{2} + k ^{2} )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 4 (- \int \frac{1}{- 4 v ^{2} + k ^{2}} d v)

Wende integrale Substitution an

= - 4 (- \int \frac{1}{2 k ( - w ^{2} + 1 )} d w)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 4 (- \frac{1}{2 k} \cdot \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= - 4 (- \frac{1}{2 k} (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= - 4 (- \frac{1}{2 k} (\frac{ln \frac{2}{k} ( e ^{- t} + \frac{k}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{k} ( e ^{- t} + \frac{k}{2} ) - 1}{2}))

Vereinfache

- 4 (- \frac{1}{2 k} (\frac{ln \frac{2}{k} ( e ^{- t} + \frac{k}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{k} ( e ^{- t} + \frac{k}{2} ) - 1}{2})) : \frac{1}{k} (ln e^{- t} \frac{2}{k} + 2 - ln (\frac{2}{∣ k ∣}) + t)

= \frac{1}{k} (ln e^{- t} \frac{2}{k} + 2 - ln (\frac{2}{∣ k ∣}) + t)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{k} (ln e^{- t} \frac{2}{k} + 2 - ln (\frac{2}{∣ k ∣}) + t) + C

Graph

Beliebte Beispiele

integral e^{(y^2)/2}

in t e g r a l e^{\frac{y ^{2}}{2}}

integral x(x^2)

in t e g r a l x (x^{2})

integral 1/((1-2x^2))

in t e g r a l \frac{1}{( 1 - 2 x ^{2} )}

integral 2/((x^2-9))

in t e g r a l \frac{2}{( x ^{2} - 9 )}

integral 1/(2x+1)

in t e g r a l \frac{1}{2 x + 1}