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integral sqrt(5-4x-x^2)

Lösung

integral

5 - 4 x - x^{2}

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x + 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x + 2)))) + C

Schritte zur Lösung

\int 5 - 4 x - x^{2} d x

Vervollständige das Quadrat

5 - 4 x - x^{2} : - (x + 2)^{2} + 9

= \int - (x + 2)^{2} + 9 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 9 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 9 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 9 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 9 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x + 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x + 2))))

Vereinfache

9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x + 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x + 2)))) : \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x + 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x + 2))))

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x + 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x + 2))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x + 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x + 2)))) + C

in t e g r a l (cos (x))^{4}

in t e g r a l x^{2} \cdot 4 - x

in t e g r a l \frac{e ^{2}}{x ^{2}}

in t e g r a l ln (2 + x)

in t e g r a l \frac{1}{x ^{2} + 5 [ 2 x ^{2} - 3 ]}