integral of sqrt(a^2-u^2)

Lösung

\int a^{2} - u^{2} d u

\frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{u}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{u}{a}))) + C

Schritte zur Lösung

\int a^{2} - u^{2} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int a^{2} cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{2} \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= a^{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{2} \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= a^{2} \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= a^{2} \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Setze in

v = arcsin (\frac{1}{a} u)

ein

= a^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{a} u) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{a} u)))

Vereinfache

a^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{a} u) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{a} u))) : \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{u}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{u}{a})))

= \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{u}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{u}{a})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{u}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{u}{a}))) + C

\int e^{- 2 x} 2 x d x

\int \frac{( 2 x - 1 )}{( x - 3 ) ^{2}} d x

\int 9 e^{6 y} d y

\int \frac{1}{( 8 x + 6 ) ^{4}} d x

\int 3 sin (x) + 2 x d x