integral of xln(x^3+1)

Lösung

\int x ln (x^{3} + 1) d x

\frac{1}{2} x^{2} ln (x^{3} + 1) - \frac{3 x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{4} ln 4 x^{2} - 4 x + 4 + \frac{3}{2} arctan (\frac{1}{3} (2 x - 1)) + C

Schritte zur Lösung

\int x ln (x^{3} + 1) d x

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} x^{2} ln (x^{3} + 1) - \int \frac{3 x ^{4}}{2 ( x ^{3} + 1 )} d x

\int \frac{3 x ^{4}}{2 ( x ^{3} + 1 )} d x = \frac{3 x ^{2}}{4} + \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{4} ln 4 x^{2} - 4 x + 4 - \frac{3}{2} arctan (\frac{2 x - 1}{3})

= \frac{1}{2} x^{2} ln (x^{3} + 1) - (\frac{3 x ^{2}}{4} + \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{4} ln 4 x^{2} - 4 x + 4 - \frac{3}{2} arctan (\frac{2 x - 1}{3}))

Vereinfache

\frac{1}{2} x^{2} ln (x^{3} + 1) - (\frac{3 x ^{2}}{4} + \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{4} ln 4 x^{2} - 4 x + 4 - \frac{3}{2} arctan (\frac{2 x - 1}{3})) : \frac{1}{2} x^{2} ln (x^{3} + 1) - \frac{3 x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{4} ln 4 x^{2} - 4 x + 4 + \frac{3}{2} arctan (\frac{1}{3} (2 x - 1))

= \frac{1}{2} x^{2} ln (x^{3} + 1) - \frac{3 x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{4} ln 4 x^{2} - 4 x + 4 + \frac{3}{2} arctan (\frac{1}{3} (2 x - 1))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} x^{2} ln (x^{3} + 1) - \frac{3 x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{4} ln 4 x^{2} - 4 x + 4 + \frac{3}{2} arctan (\frac{1}{3} (2 x - 1)) + C

\int (x - 1) (2 x + 1) d x

\int \frac{x}{( 2 x + 5 ) ^{2}} d x

\int (4 x - 2)^{5} d x

\int \frac{( x ^{3} + 2 x )}{x ^{2} + 4} d x

\int 2^{x} \cdot 2^{2 x} d x