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Beliebt Trigonometrie >

-2cos^2(θ)-4sin(θ)+2=-5sin(θ)

Lösung

- 2 cos^{2} (θ) - 4 sin (θ) + 2 = - 5 sin (θ)

Lösung

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 2 cos^{2} (θ) - 4 sin (θ) + 2 = - 5 sin (θ)

Subtrahiere

- 5 sin (θ)

von beiden Seiten

- 2 cos^{2} (θ) + sin (θ) + 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 + sin (θ) - 2 cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 2 + sin (θ) - 2 (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

2 + sin (θ) - 2 (1 - sin^{2} (θ)) : 2 sin^{2} (θ) + sin (θ)

2 + sin (θ) - 2 (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 2 (1 - sin^{2} (θ)) : - 2 + 2 sin^{2} (θ)

- 2 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 sin^{2} (θ)

= 2 + sin (θ) - 2 + 2 sin^{2} (θ)

Vereinfache

2 + sin (θ) - 2 + 2 sin^{2} (θ) : 2 sin^{2} (θ) + sin (θ)

2 + sin (θ) - 2 + 2 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) + 2 - 2

2 - 2 = 0

= 2 sin^{2} (θ) + sin (θ)

= 2 sin^{2} (θ) + sin (θ)

= 2 sin^{2} (θ) + sin (θ)

sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

u + 2 u^{2} = 0

u + 2 u^{2} = 0 : u = 0, u = - \frac{1}{2}

u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 1 - 0

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 1}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- 1 - 1}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = 0, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = 0, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor t,x=cos(t)+cos(2t)

so l v e f or t, x = cos (t) + cos (2 t)

solvefor x,sin(x)=-1

so l v e f or x, sin (x) = - 1

9-9sin(θ)=6cos^2(θ)

9 - 9 sin (θ) = 6 cos^{2} (θ)

cot(2θ)=0

cot (2 θ) = 0

sec(2x)=-2

sec (2 x) = - 2