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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(x)-4cos(x)-1=0

Lösung

cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = 1.80911 \dots + 2 πn, x = - 1.80911 \dots + 2 πn

Grad

x = 103.65458 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 103.65458 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

u^{2} - 4 u - 1 = 0

u^{2} - 4 u - 1 = 0 : u = 2 + 5, u = 2 - 5

u^{2} - 4 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 4 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 25

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4^{2} + 4

4^{2} = 16

= 16 + 4

Addiere die Zahlen:

16 + 4 = 20

= 20

Primfaktorzerlegung von

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 5}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 4 ) + 2 5}{2 \cdot 1} : 2 + 5

\frac{- ( - 4 ) + 2 5}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 2 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 + 2 5}{2}

Faktorisiere

4 + 25 : 2 (2 + 5)

4 + 25

Schreibe um

= 2 \cdot 2 + 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 + 5)

= \frac{2 ( 2 + 5 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 2 + 5

u = \frac{- ( - 4 ) - 2 5}{2 \cdot 1} : 2 - 5

\frac{- ( - 4 ) - 2 5}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 2 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 - 2 5}{2}

Faktorisiere

4 - 25 : 2 (2 - 5)

4 - 25

Schreibe um

= 2 \cdot 2 - 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 - 5)

= \frac{2 ( 2 - 5 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 2 - 5

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2 + 5, u = 2 - 5

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 2 + 5, cos (x) = 2 - 5

cos (x) = 2 + 5, cos (x) = 2 - 5

cos (x) = 2 + 5 :

Keine Lösung

cos (x) = 2 + 5

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 2 - 5 : x = arccos (2 - 5) + 2 πn, x = - arccos (2 - 5) + 2 πn

cos (x) = 2 - 5

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = 2 - 5

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 2 - 5

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (2 - 5) + 2 πn, x = - arccos (2 - 5) + 2 πn

x = arccos (2 - 5) + 2 πn, x = - arccos (2 - 5) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (2 - 5) + 2 πn, x = - arccos (2 - 5) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.80911 \dots + 2 πn, x = - 1.80911 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-9sin(3x)=0

- 9 sin (3 x) = 0

cos(4x)-7cos(2x)=8

cos (4 x) - 7 cos (2 x) = 8

6tan(B)+sqrt(14)=0

6 tan (B) + 14 = 0

-4tan^2(θ)-4tan(θ)-9=8tan(θ)-4

- 4 tan^{2} (θ) - 4 tan (θ) - 9 = 8 tan (θ) - 4

cot(4x)=-(sqrt(3))/3

cot (4 x) = - \frac{3}{3}