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Beliebt Trigonometrie >

4cos(2x)=2-8cos(x)

Lösung

4 cos (2 x) = 2 - 8 cos (x)

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (2 x) = 2 - 8 cos (x)

Subtrahiere

2 - 8 cos (x)

von beiden Seiten

4 cos (2 x) - 2 + 8 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 + 4 cos (2 x) + 8 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 2 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 8 cos (x)

Vereinfache

- 2 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 8 cos (x) : 8 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 6

- 2 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 8 cos (x)

Multipliziere aus

4 (2 cos^{2} (x) - 1) : 8 cos^{2} (x) - 4

4 (2 cos^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Vereinfache

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (x) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= - 2 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 8 cos (x)

Vereinfache

- 2 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 8 cos (x) : 8 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 6

- 2 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 8 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 8 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 2 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 4 = - 6

= 8 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 6

= 8 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 6

= 8 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 6

- 6 + 8 cos (x) + 8 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 6 + 8 cos (x) + 8 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 6 + 8 u + 8 u^{2} = 0

- 6 + 8 u + 8 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{3}{2}

- 6 + 8 u + 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} + 8 u - 6 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

8 u^{2} + 8 u - 6 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 8, b = 8, c = - 6

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 6 )}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 6 )}{2 \cdot 8}

8^{2} - 4 \cdot 8 (- 6) = 16

8^{2} - 4 \cdot 8 (- 6)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 6

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 6 = 192

= 8^{2} + 192

8^{2} = 64

= 64 + 192

Addiere die Zahlen:

64 + 192 = 256

= 256

Faktorisiere die Zahl:

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 6^{2} = 16

= 16

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 16}{2 \cdot 8}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 8 + 16}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 8 - 16}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 8 + 16}{2 \cdot 8} : \frac{1}{2}

\frac{- 8 + 16}{2 \cdot 8}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 8 + 16 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{8}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 8 - 16}{2 \cdot 8} : - \frac{3}{2}

\frac{- 8 - 16}{2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

- 8 - 16 = - 24

= \frac{- 24}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 24}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{3}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{3}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(x)= 7/8

tan (x) = \frac{7}{8}

4cos^2(x)+1=0

4 cos^{2} (x) + 1 = 0

3cos^2(x)-2cos(x)=0

3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) = 0

cos(x-pi/2)=0

cos (x - \frac{π}{2}) = 0

2csc^2(2x)-csc(2x)-6=0

2 csc^{2} (2 x) - csc (2 x) - 6 = 0