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Beliebt Trigonometrie >

4cos(2θ)+19=-22cos(θ)+6

Lösung

4 cos (2 θ) + 19 = - 22 cos (θ) + 6

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (2 θ) + 19 = - 22 cos (θ) + 6

Subtrahiere

- 22 cos (θ) + 6

von beiden Seiten

4 cos (2 θ) + 22 cos (θ) + 13 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

13 + 22 cos (θ) + 4 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 13 + 22 cos (θ) + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Vereinfache

13 + 22 cos (θ) + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 8 cos^{2} (θ) + 22 cos (θ) + 9

13 + 22 cos (θ) + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Multipliziere aus

4 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 8 cos^{2} (θ) - 4

4 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Vereinfache

4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (θ) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (θ) - 4

= 8 cos^{2} (θ) - 4

= 13 + 22 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) - 4

Vereinfache

13 + 22 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) - 4 : 8 cos^{2} (θ) + 22 cos (θ) + 9

13 + 22 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) - 4

Fasse gleiche Terme zusammen

= 22 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) + 13 - 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

13 - 4 = 9

= 8 cos^{2} (θ) + 22 cos (θ) + 9

= 8 cos^{2} (θ) + 22 cos (θ) + 9

= 8 cos^{2} (θ) + 22 cos (θ) + 9

9 + 22 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

9 + 22 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

9 + 22 u + 8 u^{2} = 0

9 + 22 u + 8 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = - \frac{9}{4}

9 + 22 u + 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} + 22 u + 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

8 u^{2} + 22 u + 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 8, b = 22, c = 9

u_{1, 2} = \frac{- 22 \pm 2 2 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 9}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 22 \pm 2 2 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 9}{2 \cdot 8}

2 2^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 9 = 14

2 2^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 9 = 288

= 2 2^{2} - 288

2 2^{2} = 484

= 484 - 288

Subtrahiere die Zahlen:

484 - 288 = 196

= 196

Faktorisiere die Zahl:

196 = 1 4^{2}

= 1 4^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 4^{2} = 14

= 14

u_{1, 2} = \frac{- 22 \pm 14}{2 \cdot 8}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 22 + 14}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 22 - 14}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 22 + 14}{2 \cdot 8} : - \frac{1}{2}

\frac{- 22 + 14}{2 \cdot 8}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 22 + 14 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 22 - 14}{2 \cdot 8} : - \frac{9}{4}

\frac{- 22 - 14}{2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

- 22 - 14 = - 36

= \frac{- 36}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 36}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{36}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{9}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = - \frac{9}{4}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = - \frac{9}{4}

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = - \frac{9}{4}

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{9}{4} :

Keine Lösung

cos (θ) = - \frac{9}{4}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

8cos^2(x)+16cos(x)+8=0

8 cos^{2} (x) + 16 cos (x) + 8 = 0

cos(x)=-0.35

cos (x) = - 0.35

cos(x)=-0.25

cos (x) = - 0.25

1+sin^2(x)=cos^2(x)

1 + sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

7tan(θ)sin(θ)-6tan(θ)=0

7 tan (θ) sin (θ) - 6 tan (θ) = 0