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人気のある三角関数 >

sqrt(4cos(θ))=1-cos(θ)

解

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

解

θ = 1.39837 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39837 \dots + 2 πn

+1

度

θ = 80.12071 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 279.87928 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

置換で解く

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

仮定:

cos (θ) = u

4 u = 1 - u

4 u = 1 - u : u = 3 - 22

4 u = 1 - u

両辺を2乗する:

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - u

(4 u)^{2} = (1 - u)^{2}

拡張

(4 u)^{2} : 4 u

(4 u)^{2}

累乗根の規則を適用する:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((4 u)^{\frac{1}{2}})^{2}

指数の規則を適用する:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (4 u)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

共通因数を約分する:

2

= 1

= 4 u

拡張

(1 - u)^{2} : 1 - 2 u + u^{2}

(1 - u)^{2}

完全平方式を適用する:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = u

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

簡素化

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2} : 1 - 2 u + u^{2}

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 u + u^{2}

= 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

解く

4 u = 1 - 2 u + u^{2} : u = 3 + 22, u = 3 - 22

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

辺を交換する

1 - 2 u + u^{2} = 4 u

4 u

を左側に移動します

1 - 2 u + u^{2} = 4 u

両辺から

4 u

を引く

1 - 2 u + u^{2} - 4 u = 4 u - 4 u

簡素化

u^{2} - 6 u + 1 = 0

u^{2} - 6 u + 1 = 0

解くとthe二次式

u^{2} - 6 u + 1 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 1, b = - 6, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 42

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} - 4

6^{2} = 36

= 36 - 4

数を引く:

36 - 4 = 32

= 32

以下の素因数分解:

32 : 2^{5}

32

32232 = 16 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 16

16216 = 8 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 8

828 = 4 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

424 = 2 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

は素数なので, さらに因数分解はできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

改良

= 42

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 4 2}{2 \cdot 1}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1} : 3 + 22

\frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{6 + 4 2}{2 \cdot 1}

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 + 4 2}{2}

因数

6 + 42 : 2 (3 + 22)

6 + 42

書き換え

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

共通項をくくり出す

2

= 2 (3 + 22)

= \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 22

u = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1} : 3 - 22

\frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{6 - 4 2}{2 \cdot 1}

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 - 4 2}{2}

因数

6 - 42 : 2 (3 - 22)

6 - 42

書き換え

= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 22

共通項をくくり出す

2

= 2 (3 - 22)

= \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 22

二次equationの解:

u = 3 + 22, u = 3 - 22

u = 3 + 22, u = 3 - 22

解を検算する:

u = 3 + 22

偽

, u = 3 - 22

真

4 u = 1 - u

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

挿入

u = 3 + 22 :

偽

4 (3 + 22) = 1 - (3 + 22)

1 - (3 + 22) = - 2 - 22

1 - (3 + 22)

- (3 + 22) : - 3 - 22

- (3 + 22)

括弧を分配する

= - (3) - (22)

マイナス・プラスの規則を適用する

+ (- a) = - a

= - 3 - 22

= 1 - 3 - 22

数を引く:

1 - 3 = - 2

= - 2 - 22

4 (3 + 22) = - 2 - 22

偽

挿入

u = 3 - 22 :

真

4 (3 - 22) = 1 - (3 - 22)

1 - (3 - 22) = 22 - 2

1 - (3 - 22)

- (3 - 22) : - 3 + 22

- (3 - 22)

括弧を分配する

= - (3) - (- 22)

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 3 + 22

= 1 - 3 + 22

数を引く:

1 - 3 = - 2

= 22 - 2

4 (3 - 22) = 22 - 2

真

解は

u = 3 - 22

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = 3 - 22

cos (θ) = 3 - 22

cos (θ) = 3 - 22 : θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

cos (θ) = 3 - 22

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = 3 - 22

以下の一般解

cos (θ) = 3 - 22

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

θ = 1.39837 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39837 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

sin (\frac{x}{3}) = 0

cos (x) = 0.95

2cos(2θ)+2cos(θ)+2=3cos(θ)

2 cos (2 θ) + 2 cos (θ) + 2 = 3 cos (θ)

1+csc(x)=cot^2(x)

1 + csc (x) = cot^{2} (x)

cos(1/(4θ))=(-sqrt(2))/2

cos (\frac{1}{4 θ}) = \frac{- 2}{2}