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Beliebt Trigonometrie >

sqrt(4cos(θ))=1-cos(θ)

Lösung

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

Lösung

θ = 1.39837 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39837 \dots + 2 πn

Grad

θ = 80.12071 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 279.87928 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

Löse mit Substitution

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

Angenommen:

cos (θ) = u

4 u = 1 - u

4 u = 1 - u : u = 3 - 22

4 u = 1 - u

Quadriere beide Seiten:

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - u

(4 u)^{2} = (1 - u)^{2}

Schreibe

(4 u)^{2}

um:

4 u

(4 u)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((4 u)^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (4 u)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 4 u

Schreibe

(1 - u)^{2}

um:

1 - 2 u + u^{2}

(1 - u)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = u

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

Vereinfache

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2} : 1 - 2 u + u^{2}

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 u + u^{2}

= 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

Löse

4 u = 1 - 2 u + u^{2} : u = 3 + 22, u = 3 - 22

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

Tausche die Seiten

1 - 2 u + u^{2} = 4 u

Verschiebe

4 u

auf die linke Seite

1 - 2 u + u^{2} = 4 u

Subtrahiere

4 u

von beiden Seiten

1 - 2 u + u^{2} - 4 u = 4 u - 4 u

Vereinfache

u^{2} - 6 u + 1 = 0

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 6, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 42

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} - 4

6^{2} = 36

= 36 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

36 - 4 = 32

= 32

Primfaktorzerlegung von

32 : 2^{5}

32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Fasse zusammen

= 42

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 4 2}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1} : 3 + 22

\frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{6 + 4 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 + 4 2}{2}

Faktorisiere

6 + 42 : 2 (3 + 22)

6 + 42

Schreibe um

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 + 22)

= \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 22

u = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1} : 3 - 22

\frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{6 - 4 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 - 4 2}{2}

Faktorisiere

6 - 42 : 2 (3 - 22)

6 - 42

Schreibe um

= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 - 22)

= \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 22

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 3 + 22, u = 3 - 22

u = 3 + 22, u = 3 - 22

Überprüfe die Lösungen:

u = 3 + 22

Falsch

, u = 3 - 22

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

4 u = 1 - u

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

u = 3 + 22 :

Falsch

4 (3 + 22) = 1 - (3 + 22)

1 - (3 + 22) = - 2 - 22

1 - (3 + 22)

- (3 + 22) : - 3 - 22

- (3 + 22)

Setze Klammern

= - (3) - (22)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 3 - 22

= 1 - 3 - 22

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= - 2 - 22

4 (3 + 22) = - 2 - 22

Falsch

Setze ein

u = 3 - 22 :

Wahr

4 (3 - 22) = 1 - (3 - 22)

1 - (3 - 22) = 22 - 2

1 - (3 - 22)

- (3 - 22) : - 3 + 22

- (3 - 22)

Setze Klammern

= - (3) - (- 22)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 3 + 22

= 1 - 3 + 22

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= 22 - 2

4 (3 - 22) = 22 - 2

Wahr

Deshalb ist die Lösung

u = 3 - 22

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 3 - 22

cos (θ) = 3 - 22

cos (θ) = 3 - 22 : θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

cos (θ) = 3 - 22

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = 3 - 22

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 3 - 22

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.39837 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39837 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x/3)=0

sin (\frac{x}{3}) = 0

cos(x)=0.95

cos (x) = 0.95

2cos(2θ)+2cos(θ)+2=3cos(θ)

2 cos (2 θ) + 2 cos (θ) + 2 = 3 cos (θ)

1+csc(x)=cot^2(x)

1 + csc (x) = cot^{2} (x)

cos(1/(4θ))=(-sqrt(2))/2

cos (\frac{1}{4 θ}) = \frac{- 2}{2}