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Beliebt Trigonometrie >

3cos^2(θ)-sin(θ)=1

Lösung

3 cos^{2} (θ) - sin (θ) = 1

Lösung

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.72972 \dots + 2 πn, θ = π - 0.72972 \dots + 2 πn

Grad

θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 41.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 138.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos^{2} (θ) - sin (θ) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 cos^{2} (θ) - sin (θ) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - sin (θ) + 3 cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin (θ) + 3 (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

- 1 - sin (θ) + 3 (1 - sin^{2} (θ)) : - 3 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

- 1 - sin (θ) + 3 (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

3 (1 - sin^{2} (θ)) : 3 - 3 sin^{2} (θ)

3 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (θ)

= - 1 - sin (θ) + 3 - 3 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 1 - sin (θ) + 3 - 3 sin^{2} (θ) : - 3 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

- 1 - sin (θ) + 3 - 3 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin (θ) - 3 sin^{2} (θ) - 1 + 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 3 = 2

= - 3 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

= - 3 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

= - 3 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

2 - sin (θ) - 3 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 - sin (θ) - 3 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

2 - u - 3 u^{2} = 0

2 - u - 3 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{2}{3}

2 - u - 3 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} - u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 3 u^{2} - u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 3, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 2}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 2}{2 ( - 3 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 3) \cdot 2 = 5

(- 1)^{2} - 4 (- 3) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

4 \cdot 3 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 24

= 1 + 24

Addiere die Zahlen:

1 + 24 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 ( - 3 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 3 )} : - 1

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 5}{- 2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

1 + 5 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{6}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 3 )} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 5}{- 2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 5 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 4}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{2}{3}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = - 1, sin (θ) = \frac{2}{3}

sin (θ) = - 1, sin (θ) = \frac{2}{3}

sin (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = \frac{2}{3} : θ = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{2}{3}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.72972 \dots + 2 πn, θ = π - 0.72972 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5cos(2x)=9sin(x)+4

-sqrt(3)cos(x)-1=cos(2x)

-2tan^2(θ)-4tan(θ)+2=3tan(θ)+5

csc(3x)=1

solvefor x,cos(x+y)+cos(x)=0