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Popular Trigonometría >

5sin(x)-3sin(3x)=2sin(x)

Solución

5 sin (x) - 3 sin (3 x) = 2 sin (x)

Solución

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Grados

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

5 sin (x) - 3 sin (3 x) = 2 sin (x)

Restar

2 sin (x)

de ambos lados

3 sin (x) - 3 sin (3 x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 3 sin (3 x) + 3 sin (x)

sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

sin (3 x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (3 x)

Reescribir como

= sin (2 x + x)

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Simplificar

cos (2 x) sin (x) + cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) : sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Expandir

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

= sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) + 2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Expandir

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= sin (x) 1 - sin (x) 2 sin^{2} (x)

= 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Simplificar

1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 sin (x)

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Expandir

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 sin (x), b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 sin (x) 1 - 2 sin (x) sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Simplificar

2 \cdot 1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x) = 2 sin (x)

2 \cdot 1 sin (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Simplificar

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Sumar elementos similares:

- 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) = - 4 sin^{3} (x)

= - 4 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Sumar elementos similares:

sin (x) + 2 sin (x) = 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 3 (3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)) + 3 sin (x)

Simplificar

- 3 (3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)) + 3 sin (x) : - 6 sin (x) + 12 sin^{3} (x)

- 3 (3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)) + 3 sin (x)

Expandir

- 3 (3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)) : - 9 sin (x) + 12 sin^{3} (x)

- 3 (3 sin (x) - 4 sin^{3} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 3 sin (x), c = 4 sin^{3} (x)

= - 3 \cdot 3 sin (x) - (- 3) \cdot 4 sin^{3} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 3 \cdot 3 sin (x) + 3 \cdot 4 sin^{3} (x)

Simplificar

- 3 \cdot 3 sin (x) + 3 \cdot 4 sin^{3} (x) : - 9 sin (x) + 12 sin^{3} (x)

- 3 \cdot 3 sin (x) + 3 \cdot 4 sin^{3} (x)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 = 9

= - 9 sin (x) + 3 \cdot 4 sin^{3} (x)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 4 = 12

= - 9 sin (x) + 12 sin^{3} (x)

= - 9 sin (x) + 12 sin^{3} (x)

= - 9 sin (x) + 12 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

Sumar elementos similares:

- 9 sin (x) + 3 sin (x) = - 6 sin (x)

= - 6 sin (x) + 12 sin^{3} (x)

= - 6 sin (x) + 12 sin^{3} (x)

12 sin^{3} (x) - 6 sin (x) = 0

Usando el método de sustitución

12 sin^{3} (x) - 6 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

12 u^{3} - 6 u = 0

12 u^{3} - 6 u = 0 : u = 0, u = - \frac{2}{2}, u = \frac{2}{2}

12 u^{3} - 6 u = 0

Factorizar

12 u^{3} - 6 u : 6 u (2 u + 1) (2 u - 1)

12 u^{3} - 6 u

Factorizar el termino común

6 u : 6 u (2 u^{2} - 1)

12 u^{3} - 6 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 12 u^{2} u - 6 u

Reescribir

12

como

6 \cdot 2

= 6 \cdot 2 u^{2} u - 6 u

Factorizar el termino común

6 u

= 6 u (2 u^{2} - 1)

= 6 u (2 u^{2} - 1)

Factorizar

2 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{2} - 1

Reescribir

2 u^{2} - 1

como

(2 u)^{2} - 1^{2}

2 u^{2} - 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - 1^{2} = (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u - 1)

= 6 u (2 u + 1) (2 u - 1)

6 u (2 u + 1) (2 u - 1) = 0

Usando la propiedad del factor cero:

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 1 = 0

Resolver

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= u

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

Resolver

2 u - 1 = 0 : u = \frac{2}{2}

2 u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= u

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

Las soluciones son

u = 0, u = - \frac{2}{2}, u = \frac{2}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = - \frac{2}{2}, sin (x) = \frac{2}{2}

sin (x) = 0, sin (x) = - \frac{2}{2}, sin (x) = \frac{2}{2}

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = - \frac{2}{2} : x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (x) = - \frac{2}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{2}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (x) = \frac{2}{2} : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (x) = \frac{2}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{2}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

sec(x)+sqrt(2)=2sqrt(2)

sec (x) + 2 = 22

2csc^2(x)-5csc(x)+2=0

2 csc^{2} (x) - 5 csc (x) + 2 = 0

solvefor x,sin(x)cos(x)= 1/2

so l v e f or x, sin (x) cos (x) = \frac{1}{2}

sec^2(x)+tan^2(x)=1

sec^{2} (x) + tan^{2} (x) = 1

csc(x)-sqrt(2)=0

csc (x) - 2 = 0