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Beliebt Trigonometrie >

arctan(x)+arctan(1-x)=arctan(4/3)

Lösung

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

Lösung

x = \frac{1}{2}

Schritte zur Lösung

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arctan (x) + arctan (1 - x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )})

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{4}{3})

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{4}{3})

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = tan (arctan (\frac{4}{3}))

tan (arctan (\frac{4}{3})) = \frac{4}{3}

tan (arctan (\frac{4}{3}))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan (arctan (\frac{4}{3})) = \frac{4}{3}

Verwende die folgende Identität:

tan (arctan (x)) = x

= \frac{4}{3}

= \frac{4}{3}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Löse

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3} : x = \frac{1}{2}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Kreuzmultiplizieren

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Vereinfache

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} : \frac{1}{1 - x ( 1 - x )}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}

x + 1 - x = 1

x + 1 - x

Fasse gleiche Terme zusammen

= x - x + 1

Addiere gleiche Elemente:

x - x = 0

= 1

= \frac{1}{1 - x ( - x + 1 )}

\frac{1}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Wende die Regeln für Multipikation bei Brüchen an: Wenn

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

dann

a \cdot d = b \cdot c

1 \cdot 3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

Vereinfache

1 \cdot 3 : 3

1 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= 3

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

Löse

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4 : x = \frac{1}{2}

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

Schreibe

(1 - x (1 - x)) \cdot 4

um:

4 - 4 x + 4 x^{2}

(1 - x (1 - x)) \cdot 4

Multipliziere aus

1 - x (1 - x) : 1 - x + x^{2}

1 - x (1 - x)

Multipliziere aus

- x (1 - x) : - x + x^{2}

- x (1 - x)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 1, c = x

= - x \cdot 1 - (- x) x

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 1 \cdot x + xx

Vereinfache

- 1 \cdot x + xx : - x + x^{2}

- 1 \cdot x + xx

1 \cdot x = x

1 \cdot x

Multipliziere:

1 \cdot x = x

= x

xx = x^{2}

xx

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= - x + x^{2}

= - x + x^{2}

= 1 - x + x^{2}

= 4 (x^{2} - x + 1)

= 4 (1 - x + x^{2})

Setze Klammern

= 4 \cdot 1 + 4 (- x) + 4 x^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= 4 \cdot 1 - 4 x + 4 x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 x + 4 x^{2}

3 = 4 - 4 x + 4 x^{2}

Tausche die Seiten

4 - 4 x + 4 x^{2} = 3

Verschiebe

3

auf die linke Seite

4 - 4 x + 4 x^{2} = 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

4 - 4 x + 4 x^{2} - 3 = 3 - 3

Vereinfache

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 4, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 16 = 0

= 0

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 4}

x = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

x = \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{1}{2} :

Wahr

\frac{1}{2}

Setze ein

n = 1

\frac{1}{2}

Setze

x = \frac{1}{2}

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

ein, um zu lösen

arctan (\frac{1}{2}) + arctan (1 - \frac{1}{2}) = arctan (\frac{4}{3})

Fasse zusammen

0.92729 \dots = 0.92729 \dots

\Rightarrow Wahr

x = \frac{1}{2}

Graph

Beliebte Beispiele

cos(θ)=(-8)/(sqrt(14)*\sqrt{20)}

cos (θ) = \frac{- 8}{14 \cdot 20}

sin^2(x)= 1/3

sin^{2} (x) = \frac{1}{3}

cos(2x)=-0.8

cos (2 x) = - 0.8

0=-4sin(2x)

0 = - 4 sin (2 x)

cot(x)+1=0,0<= x<2pi

cot (x) + 1 = 0, 0 \leq x < 2 π