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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)=2+sqrt(3)sin(x)

Lösung

cos (x) = 2 + 3 sin (x)

Lösung

x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) = 2 + 3 sin (x)

Quadriere beide Seiten

cos^{2} (x) = (2 + 3 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(2 + 3 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

cos^{2} (x) - 4 - 43 sin (x) - 3 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 + cos^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3

Vereinfache

- 4 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3 : - 4 sin^{2} (x) - 43 sin (x) - 3

- 4 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = - 4 sin^{2} (x)

= - 4 + 1 - 4 sin^{2} (x) - 43 sin (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 1 = - 3

= - 4 sin^{2} (x) - 43 sin (x) - 3

= - 4 sin^{2} (x) - 43 sin (x) - 3

- 3 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3 = 0

Löse mit Substitution

- 3 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 3 - 4 u^{2} - 4 u 3 = 0

- 3 - 4 u^{2} - 4 u 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}

- 3 - 4 u^{2} - 4 u 3 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 43 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 43 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 43, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 3 ) \pm ( - 4 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 3 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 3 ) \pm ( - 4 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 3 )}{2 ( - 4 )}

(- 43)^{2} - 4 (- 4) (- 3) = 0

(- 43)^{2} - 4 (- 4) (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 43)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3

(- 43)^{2} = 4^{2} \cdot 3

(- 43)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 43)^{2} = (43)^{2}

= (43)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= 4^{2} \cdot 3

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

4 \cdot 4 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 48

= 4^{2} \cdot 3 - 48

4^{2} \cdot 3 = 48

4^{2} \cdot 3

4^{2} = 16

= 16 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 3 = 48

= 48

= 48 - 48

Subtrahiere die Zahlen:

48 - 48 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 3 ) \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 4 3 )}{2 ( - 4 )}

\frac{- ( - 4 3 )}{2 ( - 4 )} = - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 4 3 )}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 3}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 3}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 3}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{3}{2}

u = - \frac{3}{2}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = - \frac{3}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x) = - \frac{3}{2} : x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (x) = - \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cos (x) = 2 + 3 sin (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

cos (x) = 2 + 3 sin (x)

ein, um zu lösen

cos (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = 2 + 3 sin (\frac{4 π}{3} + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 0.5 = 0.5

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

cos (x) = 2 + 3 sin (x)

ein, um zu lösen

cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 2 + 3 sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1)

Fasse zusammen

0.5 = 0.5

\Rightarrow Wahr

x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan^2(θ)+4tan(θ)=0

tan^{2} (θ) + 4 tan (θ) = 0

7cos(θ)=7cos(2θ)

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3cos(2x)=3cos(x)

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-2sin(θ)=2sin(2θ)

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sin(α)=0

sin (α) = 0