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beweisen tan(x/2)=csc(x)-cot(x)

Lösung

beweisen

tan (\frac{x}{2}) = csc (x) - cot (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (\frac{x}{2}) = csc (x) - cot (x)

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

tan (u) = csc (2 u) - cot (2 u)

Beweise

tan (u) = csc (2 u) - cot (2 u) :

Wahr

tan (u) = csc (2 u) - cot (2 u)

Manipuliere die rechte Seite

csc (2 u) - cot (2 u)

Drücke mit sin, cos aus

- cot (2 u) + csc (2 u)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + csc (2 u)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )}

Vereinfache

- \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )} : \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

- \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Vereinfache

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )} : \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (u)

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

tan (\frac{x}{2}) = csc (x) - cot (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (x) cot (x) = 1

p ro v e \frac{1}{2} (cot (x) + tan (x)) = csc (2 x)

p ro v e tan (- x) cos (x) = - sin (x)

p ro v e tan (2 π - x) = - tan (x)

p ro v e sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{2 - sec ^{2} ( x )}