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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+tan^2(x))cot^2(x)=csc^2(x)

Lösung

beweisen

(1 + tan^{2} (x)) cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 + tan^{2} (x)) cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

(1 + tan^{2} (x)) cot^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

(1 + tan^{2} (x)) cot^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) cot^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Vereinfache

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} (\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1)

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} (\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) ( 1 + \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} )}{sin ^{2} ( x )}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere

cos^{2} (x) \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} : cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

cos^{2} (x) \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen 1-tan^2(θ/2)=(2cos(θ))/(1+cos(θ))

p ro v e 1 - tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2 cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

beweisen sin(x+y)sec(x)sec(y)=tan(x)+tan(y)

p ro v e sin (x + y) sec (x) sec (y) = tan (x) + tan (y)

beweisen (cos(x))/(1-sin^2(x))=sec(x)

p ro v e \frac{cos ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )} = sec (x)

beweisen tan(2x)-2tan(2x)sin^2(x)=sin(2x)

p ro v e tan (2 x) - 2 tan (2 x) sin^{2} (x) = sin (2 x)

beweisen cot^2(θ)csc^2(θ)-cot^2(θ)=cot^4(θ)

p ro v e cot^{2} (θ) csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = cot^{4} (θ)