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beweisen sec(α)-cos(α)=sin(α)tan(α)

Lösung

beweisen

sec (α) - cos (α) = sin (α) tan (α)

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (α) - cos (α) = sin (α) tan (α)

Manipuliere die linke Seite

sec (α) - cos (α)

Drücke mit sin, cos aus

- cos (α) + sec (α)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - cos (α) + \frac{1}{cos ( α )}

Vereinfache

- cos (α) + \frac{1}{cos ( α )} : \frac{- cos ^{2} ( α ) + 1}{cos ( α )}

- cos (α) + \frac{1}{cos ( α )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (α) = \frac{cos ( α ) cos ( α )}{cos ( α )}

= - \frac{cos ( α ) cos ( α )}{cos ( α )} + \frac{1}{cos ( α )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( α ) cos ( α ) + 1}{cos ( α )}

- cos (α) cos (α) + 1 = - cos^{2} (α) + 1

- cos (α) cos (α) + 1

cos (α) cos (α) = cos^{2} (α)

cos (α) cos (α)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (α) cos (α) = cos^{1 + 1} (α)

= cos^{1 + 1} (α)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (α)

= - cos^{2} (α) + 1

= \frac{- cos ^{2} ( α ) + 1}{cos ( α )}

= \frac{- cos ^{2} ( α ) + 1}{cos ( α )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( α )}{cos ( α )}

Manipuliere die rechte Seite

sin (α) tan (α)

Drücke mit sin, cos aus

sin (α) tan (α)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= sin (α) \frac{sin ( α )}{cos ( α )}

Vereinfache

sin (α) \frac{sin ( α )}{cos ( α )} : \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ( α )}

sin (α) \frac{sin ( α )}{cos ( α )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( α ) sin ( α )}{cos ( α )}

sin (α) sin (α) = sin^{2} (α)

sin (α) sin (α)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (α) sin (α) = sin^{1 + 1} (α)

= sin^{1 + 1} (α)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (α)

= \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ( α )}

= \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ( α )}

= \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ( α )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( α )}{cos ( α )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( α )}{cos ( α )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( α )}{cos ( α )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan^{2} (θ) + 6 = sec^{2} (θ) + 5

p ro v e sec (\frac{π}{2} - x) = csc (x)

p ro v e \frac{1}{csc ( x ) - 1} + \frac{1}{csc ( x ) + 1} = 2 tan (x) sec (x)

p ro v e \frac{1 + cos ( t )}{1 - cos ( t )} = (csc (t) + cot (t))^{2}

p ro v e sec^{2} (α) + csc^{2} (α) = \frac{1}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}